Metrický prostor, v matematice, zejména topologii, abstraktní množina s funkcí vzdálenosti, nazývanou metrika, která určuje nezápornou vzdálenost mezi libovolnými dvěma jejími body tak, že platí následující vlastnosti: (1) vzdálenost z prvního bodu do druhého se rovná nule tehdy a jen tehdy, když jsou tyto body stejné, (2) vzdálenost z prvního bodu do druhého se rovná vzdálenosti z druhého do prvního a (3) součet vzdálenosti z prvního bodu do druhého a vzdálenosti z druhého bodu do třetího je větší nebo roven vzdálenosti z prvního do třetího. Poslední z těchto vlastností se nazývá trojúhelníková nerovnost. Studium metrických prostorů inicioval v roce 1905 francouzský matematik Maurice Fréchet.

Obvyklá funkce vzdálenosti na reálné číselné přímce je metrická, stejně jako obvyklá funkce vzdálenosti v euklidovském n-rozměrném prostoru. Existují i exotičtější příklady zajímavé pro matematiky. Vzhledem k libovolné množině bodů diskrétní metrika určuje, že vzdálenost od bodu k sobě samému je rovna 0, zatímco vzdálenost mezi libovolnými dvěma různými body je rovna 1. Takzvaná taxikářská metrika v euklidovské rovině prohlašuje, že vzdálenost z bodu (x, y) do bodu (z, w) je |x – z| + |y – w|. Tato „taxikářská vzdálenost“ udává minimální délku cesty z bodu (x, y) do bodu (z, w) sestrojené z vodorovných a svislých úseček. V analýze existuje několik užitečných metrik na množinách ohraničených reálných spojitých nebo integrovatelných funkcí.

Metrika tak zobecňuje pojem obvyklé vzdálenosti na obecnější prostředí. Metrika na množině X navíc určuje kolekci otevřených množin neboli topologii na X, kdy podmnožinu U X prohlásíme za otevřenou tehdy a jen tehdy, když pro každý bod p X existuje kladná (případně velmi malá) vzdálenost r taková, že množina všech bodů X o vzdálenosti menší než r od p je zcela obsažena v U. Metrické prostory tak poskytují důležité příklady topologických prostorů.

Metrický prostor se považuje za úplný, jestliže každá posloupnost bodů, v nichž jsou členy nakonec párově libovolně blízko sebe (tzv. Cauchyho posloupnost), konverguje k bodu v metrickém prostoru. Obvyklá metrika na racionálních číslech není úplná, protože některé Cauchyho posloupnosti racionálních čísel nekonvergují k racionálním číslům. Například posloupnost racionálních čísel 3, 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, 3,14159, … konverguje k π, což není racionální číslo. Obvyklá metrika na reálných číslech je však úplná a navíc každé reálné číslo je limitou Cauchyho posloupnosti racionálních čísel. V tomto smyslu tvoří reálná čísla doplněk racionálních čísel. Důkaz tohoto faktu, který v roce 1914 podal německý matematik Felix Hausdorff, lze zobecnit a ukázat, že každý metrický prostor má takové doplnění.