Lebesgue-integralen fungerar genom att beräkna värdet av ett integral baserat på yyy-värden istället för xxx-värden.

Låt

f(x)={14 if 0≤x≤3412 if 34<x≤1.f(x)=\begin{cases} \frac{1}{4} \text{ if } 0\leq x\leq \frac{3}{4}\\\\ \frac{1}{2}\text{ if } \frac{3}{4}<x\leq 1. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧41 if 0≤x≤4321 if 43<x≤1.

Vad är värdet av ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx?

Denna graf består av två linjesträckningar, så arean under den kan ses som två rektanglar, så integralen har värdet 34⋅14+14⋅12=516.\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{16}.43⋅41+41⋅21=165. När vi använder Riemann-integralen tänker vi faktiskt på detta på ett något annorlunda sätt: vi ritar många mindre rektanglar och använder dem för att ”approximera” de stora rektanglarna, även om approximationen i detta fall är exakt.

Lebesgue-integralen tänker på detta problem på ett annat sätt: funktionen fff tar bara värdena 14\frac1441 och 12\frac1221, så vi betraktar storleken på de mängder på vilka fff tar dessa värden. De är 34\frac3443 respektive 14\frac1441, så den totala arean måste vara 14⋅34+12⋅14=516. □\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{16}.\ _\square41⋅43+21⋅41=165. □

I det här fallet är skillnaden mellan de två sätten att tänka på området meningslös, men som följande exempel visar är detta inte alltid fallet.

Låt

f(x)={1 om x är rationell0 om x är irrationell. f(x)=\begin{cases} 1\text{ if } x\text{ är rationell}\\\\ 0\text{ om }x\text{ är irrationell}. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1 om x är rationell0 om x är irrationell.

Vad är värdet av ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx?

Om vi försöker använda Riemanns integral här, eftersom varje intervall innehåller oändligt många rationella och irrationella tal, kan grafen för denna funktion inte approximeras av rektanglar, så arean kan inte beräknas med hjälp av Riemanns integral. Men om vi använder Lebesgue-integralens perspektiv, eftersom fff bara tar två värden, 0 och 1, behöver vi bara tänka på storleken på de mängder på vilka den tar dessa värden och sedan multiplicera med lämpliga värden.

Det finns endast avräkningsbart många rationella tal och oräkneligt många irrationella tal, så måttet på de rationella talen i (0,1)(0,1)(0,1)(0,1) är 0 och måttet på de irrationella talen är 1. Eftersom fff har värdet 1 hos de rationella, bidrar de med 0⋅1=00\cdot 1=00⋅1=0 till integralen; på samma sätt bidrar de irrationella med 1⋅0=01\cdot 0=01⋅0=0=0. Värdet av integralen är alltså 0. □_\square□

I huvudsak tittar Lebesgue-integralen på hur ofta en funktion uppnår ett visst värde snarare än på värdet av en funktion i en viss punkt. Enligt Reinhard Siegmund-Schultze förklarade Lebesgue själv denna idé i ett brev till Paul Montel och skrev

”Jag måste betala en viss summa, som jag har samlat i min ficka. Jag tar ut sedlar och mynt ur min ficka och ger dem till borgenären i den ordning jag hittar dem tills jag har nått den totala summan. Detta är Riemannintegralen. Men jag kan gå tillväga på ett annat sätt. När jag har tagit alla pengar ur min ficka ordnar jag sedlarna och mynten efter identiska värden och betalar sedan de olika högarna en efter en till fordringsägaren. Detta är mitt integral.”