Integrala Lebesgue funcționează prin calcularea valorii unei integrale pe baza valorilor yyy în loc de valorile xxx.

Let

f(x)={14 dacă 0≤x≤3412 dacă 34<x≤1.f(x)=\început{cazuri} \frac{1}{4} \text{ if } 0\leq x\leq \frac{3}{4}\\\\ \frac{1}{2}\text{ if } \frac{3}{4}<x\leq 1. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎨⎪⎧41 dacă 0≤x≤4321 dacă 43<x≤1.

Care este valoarea lui ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx?

Acest grafic este format din două segmente de dreaptă, astfel încât aria de sub el poate fi gândită ca două dreptunghiuri, deci integrala are valoarea 34⋅14+14⋅12=516.\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{16}.43⋅41+41⋅21=165.Atunci când folosim integrala Riemann, însă, ne gândim de fapt la acest lucru puțin diferit: desenăm multe dreptunghiuri mai mici și le folosim pentru a „aproxima” dreptunghiurile mari, deși în acest caz aproximarea este exactă.

Integrala Lebesgue se gândește la această problemă într-un mod diferit: funcția fff ia doar valorile 14\frac1441 și 12\frac1221, așa că luăm în considerare dimensiunea seturilor pe care fff ia aceste valori. Acestea sunt 34\frac3443 și respectiv 14\frac1441, deci aria totală trebuie să fie 14⋅34+12⋅14=516. □\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{16}.\ _\square41⋅43+21⋅41=165. □

În acest caz, distincția dintre cele două moduri de a gândi aria este lipsită de sens, dar, așa cum arată exemplul următor, acest lucru nu este întotdeauna așa.

Lasă

f(x)={1 dacă x este rațional0 dacă x este irațional. f(x)=\început{cazuri} 1\text{ dacă } x\text{ este rațional}\\\\ 0\text{ dacă }x\text{ este irațional}. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎪⎧1 dacă x este rațional0 dacă x este irațional.

Care este valoarea lui ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\, dx∫01f(x)dx?

Dacă încercăm să folosim integrala Riemann aici, deoarece fiecare interval conține infinit de multe numere raționale și iraționale, graficul acestei funcții nu poate fi aproximat prin dreptunghiuri, deci aria nu poate fi calculată folosind integrala Riemann. Dar, folosind perspectiva integralei Lebesgue, deoarece fff ia doar două valori, 0 și 1, tot ce trebuie să facem este să ne gândim la mărimea seturilor pe care ia aceste valori și apoi să înmulțim cu valorile corespunzătoare.

Există doar un număr numărabil de raționale și un număr nenumărabil de iraționale, astfel încât măsura raționalelor în (0,1)(0,1)(0,1)(0,1) este 0, iar măsura iraționalelor este 1. Deoarece fff ia valoarea 1 în dreptul raționalelor, acestea contribuie cu 0⋅1=00\cdot 1=00⋅1=0 la integrală; în mod similar, iraționalele contribuie cu 1⋅0=01\cdot 0=01⋅0=0. Astfel, valoarea integralei este 0. □__\square□

În esență, integrala Lebesgue analizează cât de des o funcție atinge o anumită valoare, mai degrabă decât valoarea unei funcții într-un anumit punct. Potrivit lui Reinhard Siegmund-Schultze, Lebesgue însuși a explicat această idee într-o scrisoare către Paul Montel, scriind

„Trebuie să plătesc o anumită sumă, pe care am strâns-o în buzunar. Scot bancnotele și monedele din buzunar și le dau creditorului în ordinea în care le găsesc, până când am ajuns la suma totală. Aceasta este integrala Riemann. Dar pot să procedez și altfel. După ce am scos toți banii din buzunar, ordon bancnotele și monedele în funcție de valori identice și apoi plătesc creditorului, unul după altul, cele câteva teancuri. Aceasta este integrala mea.”