Całka Lebesgue’a działa poprzez obliczanie wartości całki w oparciu o wartości yy zamiast wartości xxx.

Let

f(x)={14 if 0≤x≤3412 if 34<x≤1.f(x)={begin{cases} \frac{1}{4} \text{ if } 0 \leq x \leq \frac{3}{4}\\\\ \frac{1}{2} \tekst{ if } \frac{3}{4}<x 1. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧41 if 0≤x≤4321 if 43<x≤1.

Jaka jest wartość współczynnika ∫01f(x) dx, dx∫01f(x)dx?

Wykres ten składa się z dwóch odcinków prostych, więc o polu pod nim można myśleć jak o dwóch prostokątach, więc całka ma wartość 34⋅14+14⋅12=516.\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.43⋅41+41⋅21=165.Kiedy jednak używamy całki Riemanna, myślimy o tym nieco inaczej: rysujemy wiele mniejszych prostokątów i używamy ich do „przybliżenia” dużych prostokątów, choć w tym przypadku przybliżenie jest dokładne.

Całka Lebesgue’a myśli o tym problemie w inny sposób: funkcja fff przyjmuje tylko wartości 14frac1441 i 12frac1221, więc rozważamy wielkość zbiorów, na których fff przyjmuje te wartości. Wynoszą one odpowiednio 34frac3443 i 14frac1441, więc całkowite pole musi wynosić 14⋅34+12⋅14=516. □\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{5}{16}.\ _\square41⋅43+21⋅41=165. □

W tym przypadku rozróżnienie między dwoma sposobami myślenia o obszarze jest bez znaczenia, ale jak pokazuje poniższy przykład, nie zawsze tak jest.

Pozwól

f(x)={1 jeśli x jest racjonalne0 jeśli x jest irracjonalne. f(x)={begin{cases} 1}text{ if } x jest racjonalny}\\\\ 0 text{ if }x jest irracjonalny}. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1 jeśli x jest racjonalny0 jeśli x jest irracjonalny.

Jaka jest wartość ∫01f(x) dx, dx∫01f(x)dx?

Jeśli spróbujemy zastosować tu całkę Riemanna, to ponieważ każdy przedział zawiera nieskończenie wiele liczb racjonalnych i irracjonalnych, wykresu tej funkcji nie da się przybliżyć prostokątami, więc nie da się obliczyć jej pola za pomocą całki Riemanna. Ale używając perspektywy całki Lebesgue’a, ponieważ fff przyjmuje tylko dwie wartości, 0 i 1, wystarczy zastanowić się nad rozmiarami zbiorów, na których przyjmuje te wartości, a następnie pomnożyć przez odpowiednie wartości.

Istnieje tylko policzalnie wiele racjonalnych i niepoliczalnie wiele irracjonalnych, więc miara racjonalnych w (0,1)(0,1)(0,1) jest 0, a miara irracjonalnych jest 1. Ponieważ fff przyjmuje w racjonalnych wartość 1, to wnoszą one do całki 0⋅1=00, podobnie irracjonalne wnoszą 1⋅0=01, więc wartość całki wynosi 0. □_kwadrat□

W istocie całka Lebesgue’a rozpatruje, jak często funkcja osiąga pewną wartość, a nie wartość funkcji w danym punkcie. Jak podaje Reinhard Siegmund-Schultze, sam Lebesgue wyjaśnił tę ideę w liście do Paula Montela, pisząc

„Muszę zapłacić pewną sumę, którą zgromadziłem w kieszeni. Wyciągam z kieszeni banknoty i monety i daję je wierzycielowi w takiej kolejności, w jakiej je znajdę, aż osiągnę całkowitą sumę. To jest całka Riemanna. Ale mogę postąpić inaczej. Po wyjęciu wszystkich pieniędzy z kieszeni uporządkuję banknoty i monety według jednakowych wartości, a następnie wypłacę wierzycielowi kilka stosów jeden po drugim. To jest moja całka.”