Paul Cohen (1934-2007)
Paul Cohen behoorde tot een nieuwe generatie Amerikaanse wiskundigen, geïnspireerd door de instroom van Europese ballingen tijdens de oorlogsjaren. Hij was zelf een tweede generatie joodse immigrant, maar hij was ontzagwekkend intelligent en uiterst ambitieus. Door zijn intelligentie en wilskracht verwierf hij roem, rijkdom en de hoogste wiskundige prijzen.
Hij werd opgeleid in New York, Brooklyn en aan de Universiteit van Chicago, alvorens zich op te werken tot hoogleraar aan de Stanford Universiteit. Vervolgens won hij de prestigieuze Fields Medal in de wiskunde, alsmede de National Medal of Science en de Bôcher Memorial Prize in de wiskundige analyse. Zijn wiskundige interesses waren zeer breed, variërend van wiskundige analyse en differentiaalvergelijkingen tot wiskundige logica en getaltheorie.
In het begin van de jaren zestig wijdde hij zich serieus aan de eerste van Hilberts 23 lijsten met open problemen, Cantors continuümhypothese, of er wel of niet een verzameling getallen bestaat die groter is dan de verzameling van alle natuurlijke (of gehele) getallen, maar kleiner dan de verzameling van reële (of decimale) getallen. Cantor was ervan overtuigd dat het antwoord “nee” was, maar kon het niet op bevredigende wijze bewijzen, evenmin als iemand anders die zich sindsdien op het probleem had gestort.
Een van de verschillende alternatieve formuleringen van de Zermelo-Fraenkel Axioma’s en het Axioma van Keuze
Enige vooruitgang was geboekt sinds Cantor. Tussen ongeveer 1908 en 1922 ontwikkelden Ernst Zermelo en Abraham Fraenkel de standaardvorm van de axiomatische verzamelingenleer, die de meest gangbare basis van de wiskunde zou worden, bekend als de Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer (ZF, of, zoals gewijzigd door het Axioma van Keuze, als ZFC).
Kurt Gödel toonde in 1940 aan dat de continuüm-hypothese consistent is met ZF, en dat de continuüm-hypothese niet kan worden weerlegd vanuit de standaard Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer, zelfs niet als het axioma van keuze wordt aangenomen. Cohen’s taak was dus om aan te tonen dat de continuüm hypothese onafhankelijk was van ZFC (of niet), en specifiek om de onafhankelijkheid van het keuze-axioma te bewijzen.
Forcing Technique
Cohen’s buitengewone en gedurfde conclusie, waartoe hij kwam met behulp van een nieuwe techniek die hij zelf ontwikkelde, “forcing” genaamd, was dat beide antwoorden waar konden zijn, d.w.z. dat de continuüm hypothese en het keuze-axioma volledig onafhankelijk waren van de ZF verzamelingenleer. Er konden dus twee verschillende, intern consistente, mathematica’s bestaan: één waarin de continuüm-hypothese waar was (en er geen verzameling getallen bestond), en één waarin de hypothese onwaar was (en er wel een verzameling getallen bestond). Het bewijs leek correct te zijn, maar Cohens methoden, met name zijn nieuwe techniek van “forceren”, waren zo nieuw dat niemand er echt zeker van was totdat Gödel in 1963 eindelijk zijn stempel van goedkeuring gaf.
Zijn bevindingen waren even revolutionair als die van Gödel zelf. Sindsdien hebben wiskundigen twee verschillende wiskundige werelden opgebouwd, één waarin de continuümhypothese van toepassing is en één waarin dat niet het geval is, en moderne wiskundige bewijzen moeten een verklaring invoegen waarin wordt verklaard of het resultaat al dan niet afhangt van de continuümhypothese.
Cohens paradigma-veranderende bewijs bracht hem roem, rijkdom en wiskundige prijzen in overvloed, en hij werd een topprofessor aan Stanford en Princeton. Opgeblazen door het succes, besloot hij de Heilige Graal van de moderne wiskunde aan te pakken, Hilbert’s achtste probleem, de Riemann hypothese. Maar uiteindelijk besteedde hij de laatste 40 jaar van zijn leven, tot aan zijn dood in 2007, aan het probleem, nog steeds zonder oplossing (hoewel zijn aanpak anderen nieuwe hoop heeft gegeven, waaronder zijn briljante student, Peter Sarnak).
| << Terug naar Weil | Voorwaarts naar Robinson en Matiyasevich >> |