Idea

Dr. von Neumann, ich möchte gerne wissen, was ist denn eigentlich ein Hilbertscher Raum ? 1

Een Hilbert-ruimte is een (mogelijk) oneindig-dimensionale veralgemening van de traditionele ruimten van de Euclidische meetkunde waarin de begrippen afstand en hoek nog zinvol zijn. Dit gebeurt door middel van een algebraïsche bewerking, het inwendig product, die het dotproduct veralgemeent.

Hilbertruimten werden bij de wereld bekend door hun toepassingen in de fysica, waar zij de zuivere toestanden van kwantumsystemen ordenen.

Hilbertruimten vormen een categorie, Hilb.

Zie ook

• een elementaire behandeling van Hilbertruimten.

Definities

Zie VV als een vectorruimte over het veld van de complexe getallen. (Men kan de keuze van het veld enigszins veralgemenen.) Een inwendig product (in de meest algemene, mogelijk onbepaalde zin) op VV is een functie

die (1â3) sesquilineair is en (4) conjugaat-symmetrisch; dat wil zeggen:

1. â¨0,xâ©=0 \langle 0, x \rangle = 0 en â¨x,0â©=0 \langle x, 0 \rangle = 0 ;
2. â¨x+y,zâ©=â¨x,zâ©+â¨y,zâ© \langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle en â¨x,y+zâ©=â¨x,yâ©+â¨x,zâ© \langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle ;
3. â¨cx,yâ©=c¯â¨x,yâ© \langle c x, y \rangle = \bar{c} \langle x, y \rangle en â¨x,cyâ©=câ¨x,yâ© \langle x, c y \rangle = c \langle x, y \rangle ;
4. â¨x,yâ©=â¨y,xâ©Â¯ \langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle} .

Hier gebruiken we de natuurkundige conventie dat het inwendig product conjugaat-lineair is in de eerste variabele en niet in de tweede, in plaats van de wiskundige conventie, die het omgekeerde is. De conventie van de natuurkundige past iets beter bij 22-Hilbertruimten. Merk op dat we voor de waarden van het binnenproduct hetzelfde veld gebruiken als voor de scalaren; de complexe conjugatie zal voor sommige keuzes van het veld irrelevant zijn.

De axioma-lijst hierboven is nogal overbodig. Allereerst volgt (1) uit (3) door c=0c = 0 te stellen; bovendien komen (1â3) in paren, waarvan er maar een nodig is, omdat elke helft uit de andere volgt met behulp van (4). Het is zelfs mogelijk (3) uit (2) af te leiden door aan te nemen dat VV een topologische vectorruimte is en dat het inwendig product continu is (wat, zoals we zullen zien, sowieso altijd waar is voor een Hilbertruimte).

Het volgende begrip dat we moeten definiëren is (semi)bepaaldheid. We definiëren een functie âââ 2:Vââ\|{-}\|^2: V \naar \mathbb{C} door âxâ 2=â¨x,xâ©|x^2 = \langle x, x \rangle; in feite neemt ââââ 2:Vâ\|{-}\|^2 alleen reële waarden aan, door (4). * Het inwendig product is positief semidefiniet, of gewoon positief, als âxâ 2â¥0|x|^2 \geq 0 altijd. * Merk op dat (door 1), âxâ 2=0|x|^2 = 0 als x=0x = 0; het inwendig product is bepaald als het omgekeerde geldt. * Een inwendig product is positief bepaald als het zowel positief als bepaald is. * Terzijde: er zijn ook negatieve (half)bepaalde inwendige producten, die iets minder handig zijn, maar niet echt anders. Een binnenproduct is onbepaald als sommige âxâ 2,xâ^2 positief zijn en sommige negatief; deze hebben een heel andere smaak.

Het binnenproduct is volledig als, gegeven een willekeurige oneindige rij (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) zo dat

er bestaat een (noodzakelijkerwijs unieke) som SS zodanig dat

Als het inwendig product bepaald is, dan moet deze som, als ze bestaat, uniek zijn, en we schrijven

(met het rechterlid onbepaald als zo’n som niet bestaat).

Dan is een Hilbertruimte eenvoudig een vectorruimte voorzien van een volledig positief bepaald inwendig product.

Hilbertruimten als Banachruimten

Als een binnenproduct positief is, dan kunnen we de vierkantswortel nemen van âxâ 2=â¨x,xâ©|x^2 = \langle x, x \rangle om het een reele getal âxâ|x, de norm van xx te krijgen.

Deze norm voldoet aan alle eisen van een Banachruimte. Hij voldoet bovendien aan de parallellogrammenwet

waaraan niet alle Banachruimten behoeven te voldoen. (De naam van deze wet komt van zijn meetkundige interpretatie: de normen in het linkerlid zijn de lengten van de diagonalen van een parallellogram, terwijl de normen in het rechterlid de lengten van de zijden zijn.)

Daarnaast heeft elke Banachruimte die voldoet aan de wet van het parallellogram een uniek binnenproduct dat de norm reproduceert, gedefinieerd door

of 12(âx+yâ 2ââxâyâ 2)\frac{1}{2}(\|x + y|^2 – \|x – y|^2) in het reële geval.

Hieruit volgt dat het mogelijk is een Hilbertruimte te definiëren als een Banachruimte die aan de parallellogramwet voldoet. Dit werkt eigenlijk iets algemener; een positief semidefiniete binnenproductruimte is een pseudo-geformeerde vectorruimte die voldoet aan de parallellogramwet. (We kunnen een onbepaald binnenproduct echter niet terugvinden uit een norm.)

Hilbertruimten als metrische ruimten

In een willekeurige positief semidefiniete binnenproductruimte, laat de afstand d(x,y)d(x,y) zijn

Dan is dd een pseudometrische; het is een volledige metriek als en slechts als we een Hilbertruimte hebben.

In feite kunnen de axioma’s van een Banach-ruimte (of pseudonormatieve vectorruimte) geheel in termen van de metriek worden geschreven; we kunnen de parallellogramwet ook als volgt stellen:

In definities is het waarschijnlijk het meest gebruikelijk om de metriek alleen geïntroduceerd te zien om de volledigheidseis aan te geven. Immers, (1) zegt dat de opeenvolging van deelsommen een Cauchy-reeks is, terwijl (2) zegt dat de opeenvolging van deelsommen convergeert naar SS.

Hilbertruimten als conforme ruimten

Geef twee vectoren xx en yy, beide niet nul, laat de hoek tussen beide de hoek θ(x,y)\theta(x,y) zijn waarvan de cosinus is

(Merk op dat deze hoek in het algemeen imaginair kan zijn, maar niet voor een Hilbertruimte over â\mathbb{R}.)

Een Hilbertruimte kan echter niet volledig uit zijn hoeken gereconstrueerd worden (zelfs niet gegeven de onderliggende vectorruimte). Het inwendig product kan slechts worden teruggevonden tot een positieve schaalfactor.

Morfismen van Hilbertruimten

Zie de discussie bij Banachruimte. Er is hier meer te zeggen over dualen (o.a. waarom de theorie van Hilbertruimten iets mooier is over â\mathbb{C} terwijl die van Banachruimten iets mooier is over â\mathbb{R}).

Voorbeelden

Banachruimten

Alle pp-parametriseerde voorbeelden bij Banachruimte gelden als je p=2p = 2 neemt.

In het bijzonder is de nn-dimensionale vectorruimte â nnmathbb{C}^n een complexe Hilbertruimte met

Elk deelveld KK van â\mathbb{C} geeft een positief bepaalde binnenproductruimte K nK^n waarvan de completie ofwel â n\mathbb{R}^n ofwel â n\mathbb{C}^n is. In het bijzonder is de cartesische ruimte â n\mathbb{R}^n een reele Hilbertruimte; de meetkundige begrippen afstand en hoek die hierboven gedefinieerd zijn, komen voor dit voorbeeld overeen met de gewone Euclidische meetkunde.

Van Lebesgue kwadratisch-integrabele functies over een manifold

De L- Hilbertruimten L 2(â)L^2(\mathbb{R}), L 2()L^2(), L 2(â 3)L^2(\mathbb{R}^3), enz. (reëel of complex) zijn zeer goed bekend. In het algemeen bestaat L 2(X)L^2(X) voor XX een maatruimte uit de bijna overal gedefinieerde functies ff van XX naar het scalaire veld (â\mathbb{R} of â\mathbb{C}) zo dat â”|f| 2 \int |f|^2 convergeert naar een eindig getal, met functies geïdentificeerd als ze bijna overal gelijk zijn; dan geldt â¨f,gâ©=â “f¯hoekle f, grangle = \int \bar{f} g, die convergeert door de CauchyâSchwarz-ongelijkheid. In de genoemde specifieke gevallen (en in het algemeen als XX een lokaal compacte Hausdorffruimte is) kan men deze ruimte ook krijgen door de positief definiete binnenproductruimte van compact gesteunde continue functies te completeren.

Van kwadratisch-integrabele halfdichtheden

• canonieke Hilbertruimte van halfdichtheden

Eigenschappen

Bases

Een basisresultaat is dat abstract gezien Hilbertruimten alle van hetzelfde type zijn: elke Hilbertruimte HH laat een orthonormale basis toe, d.w.z. een deelverzameling SâHS ^subseteq H waarvan de inclusiekaart (noodzakelijkerwijs uniek) uitbreidt tot een isomorfisme

van Hilbertruimten. Hierin is l 2(S)l^2(S) de vectorruimte bestaande uit die functies xx van SS naar het scalaire veld zodanig dat

convergeert naar een eindig getal; dit kan ook verkregen worden door de vectorruimte van formele lineaire combinaties van elementen van SS te completeren met een inwendig product dat op unieke wijze bepaald wordt door de regel

waarin δ uv\delta_{u v} de delta van Kronecker betekent. We hebben dus, in l 2(S)l^2(S),

(Deze som convergeert door de CauchyâSchwarz ongelijkheid.)

In het algemeen gebruikt dit resultaat het axioma van keuze (meestal in de vorm van Zorn’s lemma en uitgesloten midden) in zijn bewijs, en is daarmee equivalent. Het resultaat voor scheidbare Hilbertruimten heeft echter alleen afhankelijke keuze nodig en is dus naar de normen van de meeste scholen constructief. Zelfs zonder afhankelijke keuze kunnen expliciete orthornormale bases voor bepaalde L 2(X)L^2(X) vaak worden geproduceerd met behulp van benadering van de identiteitstechnieken, vaak in combinatie met een Gram-Schmidt proces.

In het bijzonder zijn alle oneindig-dimensionale scheidbare Hilbertruimten abstract isomorf aan l 2(â)l^2(\mathbb{N}).

CauchyâSchwarz-ongelijkheid

De Schwarz-ongelijkheid (of CauchyâÐÑнÑковÑкийâSchwarz-ongelijkheid, enzovoort) is erg handig:

Dit zijn eigenlijk twee stellingen (minstens): een abstracte stelling dat de ongelijkheid geldt in elke Hilbertruimte, en concrete stellingen dat ze geldt als het inwendig product en de norm gedefinieerd zijn met de formules die in de voorbeelden L 2(X)L^2(X) en l 2(S)l^2(S) hierboven gebruikt zijn. De concrete stellingen gelden zelfs voor functies die niet tot de Hilbert-ruimte behoren en bewijzen dus dat het inwendig product convergeert als de normen convergeren. (Er is een iets sterker resultaat nodig om deze convergentie constructief te concluderen; het kan gevonden worden in het boek van Errett Bishop.)

• Gerectificeerde Hilbertruimte

• Hilbert C-ster-module, Hilbert bimodule

• Kähler vectorruimte

Standaardbeschrijvingen van Hilbertruimten in de kwantummechanica zijn

• John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.

  (Duits) Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Berlijn, Duitsland: Springer Verlag, 1932.

• George Mackey, The Mathematical Foundations of Quamtum Mechanics A

  Lecture-note Volume, ser. The mathematical physics monograph series. Princeton university, 1963

• E. PrugoveÄki, Kwantummechanica in de Hilbert-ruimte. Academic Press, 1971.