Als een polynoom slechts één onbepaalde heeft (univariaat polynoom), dan worden de termen meestal geschreven ofwel van hoogste graad naar laagste graad (“afnemende machten”) ofwel van laagste graad naar hoogste graad (“stijgende machten”). Een univariate polynoom in x van graad n heeft dan de algemene vorm zoals hierboven weergegeven, waarbij

cn ≠ 0, cn-1, …, c2, c1 en c0

constanten zijn, de coëfficiënten van de polynoom.

Hierbij heet de term cnxn de leidende term, en zijn coëfficiënt cn de leidende coëfficiënt; als de leidende coëfficiënt 1 is, heet de eenvlakspolynoom monisch.

VoorbeeldenEdit

• Complexe kwadratische veeltermen

EigenschappenEdit

Multiplicatief geslotenEdit

De verzameling van alle monische veeltermen (over een gegeven (unitaire) ring A en voor een gegeven variabele x) is gesloten onder vermenigvuldiging, want het product van de leidende termen van twee monische veeltermen is de leidende term van hun product. De monische veeltermen vormen dus een multiplicatieve semigroep van de veeltermenring A. Omdat de constante veelterm 1 monisch is, is deze semigroep zelfs een monoïde.

Gedeeltelijk geordendEdit

De beperking van de delbaarheidsrelatie tot de verzameling van alle monische veeltermen (over de gegeven ring) is een partiële orde, en maakt deze verzameling dus tot een poset. De reden is dat als p(x) deelt q(x) en q(x) deelt p(x) voor twee eenpolige veeltermen p en q, dan moeten p en q gelijk zijn. De overeenkomstige eigenschap geldt niet voor veeltermen in het algemeen, als de ring andere inverteerbare elementen dan 1 bevat.

Oplossingen van veeltermvergelijkingenEdit

In andere opzichten hangen de eigenschappen van monische veeltermen en van hun overeenkomstige monische veeltermvergelijkingen sterk af van de coëfficiëntenring A. Als A een veld is, dan heeft elke niet-nul veelterm p precies één bijbehorende monische veelterm q: p gedeeld door zijn hoofdcoëfficiënt. Op deze manier kan dus elke niet-triviale veeltermvergelijking p(x) = 0 vervangen worden door een equivalente monische vergelijking q(x) = 0. Bijvoorbeeld, de algemene reële tweedegraadsvergelijking

a x 2 + b x + c = 0 {Displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}

(waarbij a ≠ 0 {{{2}+px+q=0}

)

kan worden vervangen door

x 2 + p x + q = 0 {{2113> x^{2}+px+q=0}

,

door p = b/a en q = c/a te substitueren. Zo is de vergelijking

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {Displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}

is gelijkwaardig aan de monische vergelijking

x 2 + 3 2 x + 1 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0.}

De algemene kwadratische oplossingsformule is dan de iets meer vereenvoudigde vorm van:

x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) . {\displaystyle x={\frac {1}{2}}}left(-p} {sqrt {p^{2}-4q}}}right).}

IntegralityEdit

Als de coëfficiëntenring daarentegen geen veld is, zijn er meer essentiële verschillen. Bijvoorbeeld, een monische veeltermvergelijking met gehele coëfficiënten kan geen rationale oplossingen hebben die geen gehele zijn. Zo kan de vergelijking

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {{2113> 2x^{2}+3x+1=0}

kan mogelijk een rationale wortel hebben, die geen geheel getal is, (en overigens is een van de wortels -1/2); terwijl de vergelijkingen

x 2 + 5 x + 6 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+5x+6=0}

en

x 2 + 7 x + 8 = 0 {2113> x 2 + 7 x + 8 = 0 {{2}+7x+8=0}

kunnen alleen gehele oplossingen of irrationele oplossingen hebben.

De wortels van monische veeltermen met gehele coëfficiënten worden algebraïsche gehele getallen genoemd.

De oplossingen van monische veeltermvergelijkingen over een integraal domein zijn belangrijk in de theorie van integrale uitbreidingen en integraal gesloten domeinen, en dus voor de algebraïsche getaltheorie. Neem in het algemeen aan dat A een integraal domein is, en tevens een deelring van het integraal domein B. Beschouw de deelverzameling C van B, bestaande uit die B elementen, die voldoen aan monische veeltermvergelijkingen over A:

C := { b ∈ B : ∃ p ( x ) ∈ A , die monisch is en zodanig dat p ( b ) = 0 } . {Displaystyle C:={b:in B : bestaat , p(x )in A , welke monisch is en zodanig dat }}p(b)=0}.

De verzameling C bevat A, omdat elke a ∈ A voldoet aan de vergelijking x – a = 0. Bovendien is het mogelijk aan te tonen dat C gesloten is onder optelling en vermenigvuldiging. C is dus een deelring van B. De ring C heet de van A in B; of gewoon de integraalsluiting van A, als B het breukenveld van A is; en men zegt dat de elementen van C integraal zijn over A. Als hier A = Z {\displaystyle A=\mathbb {Z} }

(de ring van gehele getallen) en B = C {\displaystyle B=\mathbb {C}} }

(het veld van de complexe getallen), dan is C de ring van de algebraïsche gehele getallen.

IrreducibliteitEdit

Als p een priemgetal is, dan is het aantal monische irreducibele polynomen van graad n over een eindig veld G F ( p ) {\displaystyle \mathrm {GF} (p)}

met p elementen is gelijk aan de kettingtelfunctie N p ( n ) {\displaystyle N_{p}(n)}

.

Als men de beperking van het monisch zijn wegneemt, wordt dit getal ( p – 1 ) N p ( n ) {{displaystyle (p-1)N_{p}(n)}