Metrische ruimte, in de wiskunde, in het bijzonder de topologie, een abstracte verzameling met een afstandsfunctie, metrisch genoemd, die een niet-negatieve afstand tussen twee willekeurige punten ervan specificeert op een zodanige wijze dat de volgende eigenschappen gelden: (1) de afstand van het eerste punt tot het tweede is gelijk aan nul als en slechts als de punten gelijk zijn, (2) de afstand van het eerste punt tot het tweede is gelijk aan de afstand van het tweede tot het eerste, en (3) de som van de afstand van het eerste punt tot het tweede en de afstand van het tweede punt tot een derde is groter dan of gelijk aan de afstand van het eerste tot het derde. De laatste van deze eigenschappen wordt de driehoeksongelijkheid genoemd. De Franse wiskundige Maurice Fréchet gaf in 1905 de aanzet tot de studie van metrische ruimten.

De gebruikelijke afstandsfunctie op de reële getallenlijn is een metriek, evenals de gebruikelijke afstandsfunctie in de n-dimensionale ruimte van Euclides. Er zijn ook meer exotische voorbeelden die van belang zijn voor wiskundigen. Gegeven een willekeurige verzameling punten, bepaalt de discrete metriek dat de afstand van een punt tot zichzelf gelijk is aan 0, terwijl de afstand tussen twee willekeurige punten gelijk is aan 1. De zogenaamde taxicab-methode op het euclidische vlak bepaalt dat de afstand van een punt (x, y) tot een punt (z, w) gelijk is aan |x – z| + |y – w|. Deze “taxicab-afstand” geeft de minimumlengte van een pad van (x, y) naar (z, w), geconstrueerd uit horizontale en verticale lijnstukken. In de analyse zijn er verschillende nuttige metrieken op verzamelingen van begrensde re¨ele continue of integreerbare functies.

Zo veralgemeent een metriek het begrip gewone afstand naar meer algemene instellingen. Bovendien bepaalt een metriek op een verzameling X een verzameling open verzamelingen, of topologie, op X wanneer een deelverzameling U van X open wordt verklaard als en slechts als er voor elk punt p van X een positieve (eventueel zeer kleine) afstand r bestaat zodat de verzameling van alle punten van X met een afstand kleiner dan r van p volledig in U besloten ligt. Op deze manier vormen metrische ruimten belangrijke voorbeelden van topologische ruimten.

Een metrische ruimte heet compleet te zijn als elke puntenreeks waarin de termen uiteindelijk paarsgewijs willekeurig dicht bij elkaar liggen (een zogenaamde Cauchy-reeks) convergeert naar een punt in de metrische ruimte. De gebruikelijke metriek op de rationale getallen is niet volledig omdat sommige Cauchy-reeksen van rationale getallen niet convergeren naar rationale getallen. Bijvoorbeeld, de rationale getallenreeks 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, … convergeert naar π, wat geen rationaal getal is. De gebruikelijke metriek op de reële getallen is echter volledig, en bovendien is elk reëel getal de limiet van een Cauchy-reeks van rationale getallen. In die zin vormen de reële getallen de voltooiing van de rationale getallen. Het bewijs van dit feit, dat in 1914 door de Duitse wiskundige Felix Hausdorff werd geleverd, kan worden veralgemeend om aan te tonen dat elke metrische ruimte een dergelijke voltooiing heeft.