Biografie
De ouders van Leopold Kronecker waren welgesteld. Zijn vader, Isidor Kronecker, was een succesvol zakenman, terwijl zijn moeder Johanna Prausnitzer was die ook uit een welgestelde familie stamde. De families waren Joods, het geloof dat Kronecker aanhing tot een jaar voor zijn dood, toen hij zich bekeerde tot het Christendom. Kroneckers ouders hadden privé-leraren in dienst die hem les gaven tot aan het moment dat hij naar het Gymnasium in Liegnitz ging, en deze bijlessen gaven hem een zeer solide basis voor zijn opleiding.
Kronecker werd op het Gymnasium in Liegnitz onderwezen in wiskunde door Kummer, en het was aan Kummer te danken dat Kronecker geïnteresseerd raakte in wiskunde. Kummer herkende onmiddellijk Kroneckers talent voor wiskunde en hij ging veel verder met hem dan op school verwacht werd, door hem aan te moedigen onderzoek te doen. Ondanks zijn Joodse opvoeding kreeg Kronecker op het Gymnasium Luthers godsdienstonderricht, waaruit zeker blijkt dat zijn ouders openstonden voor religieuze zaken.
Kronecker werd in 1841 student aan de Berlijnse Universiteit en studeerde daar onder Dirichlet en Steiner. Hij beperkte zich echter niet tot het bestuderen van wiskunde, want hij bestudeerde ook andere onderwerpen zoals astronomie, meteorologie en scheikunde. Hij was vooral geïnteresseerd in filosofie en bestudeerde de filosofische werken van Descartes, Leibniz, Kant, Spinoza en Hegel. Na de zomer van 1843 te hebben doorgebracht aan de universiteit van Bonn, waar hij naartoe ging vanwege zijn belangstelling voor astronomie in plaats van wiskunde, ging hij vervolgens naar de universiteit van Breslau voor het wintersemester van 1843-44. De reden dat hij naar Breslau ging was zeker vanwege zijn belangstelling voor wiskunde, want hij wilde weer studeren met zijn oude schoolmeester Kummer, die in 1842 benoemd was tot leerstoel in Breslau.
Kronecker bracht een jaar door in Breslau voordat hij terugkeerde naar Berlijn voor het wintersemester van 1844-45. Terug in Berlijn werkte hij aan zijn proefschrift over algebraïsche getaltheorie onder supervisie van Dirichlet. Het proefschrift, On complex units, werd ingediend op 30 juli 1845 en hij legde het noodzakelijke mondelinge examen af op 14 augustus. Dirichlet becommentarieerde het proefschrift met de opmerking dat Kronecker daarin blijk gaf van:-
… ongewone doordringendheid, grote ijver, en een exacte kennis van de huidige stand van de hogere wiskunde.
Het kan voor veel Ph.D. studenten te horen dat Kronecker bij zijn mondelinge over een breed scala van onderwerpen werd ondervraagd, waaronder de theorie van waarschijnlijkheid zoals toegepast op astronomische waarnemingen, de theorie van definitieve integralen, reeksen en differentiaalvergelijkingen, evenals over Grieks, en de geschiedenis van de filosofie.
Jacobi had gezondheidsproblemen waardoor hij Königsberg, waar hij een leerstoel bekleedde, moest verlaten en terugkeren naar Berlijn. Eisenstein, wiens gezondheidstoestand eveneens slecht was, gaf rond deze tijd lezingen in Berlijn en Kronecker leerde beide mannen goed kennen. De richting waarin Kroneckers wiskundige interesses later gingen, had veel te maken met de invloed van Jacobi en Eisenstein rond deze tijd. Net toen het er echter naar uitzag dat hij een academische carrière zou beginnen, verliet Kronecker Berlijn om zich met familiezaken bezig te houden. Hij hielp bij het beheer van het bankbedrijf van de broer van zijn moeder en in 1848 trouwde hij met de dochter van deze oom, Fanny Prausnitzer. Hij beheerde ook een familiebezit, maar vond toch de tijd om verder te werken aan de wiskunde, hoewel hij dit geheel voor zijn eigen plezier deed.
Het was zeker niet nodig voor Kronecker om betaald werk aan te nemen, aangezien hij inmiddels een vermogend man was. Zijn plezier in de wiskunde maakte echter dat hij, toen in 1855 de omstandigheden veranderden en hij niet langer op het landgoed buiten Liegnitz hoefde te wonen, terugkeerde naar Berlijn. Hij wilde geen universitaire functie, maar deelnemen aan het wiskundige leven aan de universiteit en samen met de andere wiskundigen onderzoek doen.
In 1855 kwam Kummer naar Berlijn om de vacature te vervullen die was ontstaan toen Dirichlet naar Göttingen vertrok. Borchardt doceerde sinds 1848 in Berlijn en eind 1855 nam hij de redactie van Crelle’s Journal over na Crelle’s dood. In 1856 kwam Weierstrass naar Berlijn, zodat binnen een jaar na Kronecker’s terugkeer naar Berlijn, het opmerkelijke team van Kummer, Borchardt, Weierstrass en Kronecker op zijn plaats was in Berlijn.
Natuurlijk, aangezien Kronecker geen universitaire aanstelling had, gaf hij geen college in deze tijd, maar was hij opmerkelijk actief in onderzoek, waarbij hij een groot aantal werken snel achter elkaar publiceerde. Deze hadden betrekking op getaltheorie, elliptische functies en algebra, maar, nog belangrijker, hij onderzocht de onderlinge verbanden tussen deze onderwerpen. Kummer stelde Kronecker voor om in 1860 verkozen te worden voor de Berlijnse Academie, en het voorstel werd gesteund door Borchardt en Weierstrass. Op 23 januari 1861 werd Kronecker tot lid van de Akademie gekozen en dit had een verrassend voordeel.
Leden van de Berlijnse Akademie hadden het recht college te geven aan de Berlijnse Universiteit. Hoewel Kronecker niet in dienst was van de universiteit, of van welke andere organisatie dan ook, stelde Kummer voor dat Kronecker gebruik zou maken van zijn recht om aan de universiteit lezingen te geven en dit deed hij vanaf oktober 1862. De onderwerpen waarover hij lezingen gaf hielden nauw verband met zijn onderzoek: getaltheorie, theorie van vergelijkingen, theorie van determinanten en theorie van integralen. In zijn colleges :-
Probeerde hij bestaande theorieën te vereenvoudigen en te verfijnen en ze vanuit nieuwe gezichtspunten te presenteren.
Voor de beste studenten waren zijn colleges veeleisend maar stimulerend. Hij was echter geen populaire leraar bij de gemiddelde studenten :-
Kronecker trok geen grote aantallen studenten aan. Slechts weinigen van zijn toehoorders waren in staat de vlucht van zijn denken te volgen, en slechts weinigen hielden het vol tot het einde van het semester.
Berlijn was aantrekkelijk voor Kronecker, zozeer zelfs dat toen hem in 1868 de leerstoel voor wiskunde in Göttingen werd aangeboden, hij dit afsloeg. Hij aanvaardde wel onderscheidingen zoals de verkiezing tot lid van de Academie van Parijs in dat jaar en genoot gedurende vele jaren goede betrekkingen met zijn collega’s in Berlijn en elders. Om te begrijpen waarom de relaties in de jaren 1870 begonnen te verslechteren, moeten we Kroneckers wiskundige bijdragen nader onderzoeken.
We hebben reeds aangegeven dat Kroneckers voornaamste bijdragen betrekking hadden op de theorie van vergelijkingen en hogere algebra, met zijn belangrijkste bijdragen in elliptische functies, de theorie van algebraïsche vergelijkingen, en de theorie van algebraïsche getallen. De onderwerpen die hij bestudeerde werden echter beperkt door het feit dat hij geloofde in de reductie van alle wiskunde tot argumenten die alleen de gehele getallen en een eindig aantal stappen omvatten. Kronecker is bekend om zijn opmerking:-
God schiep de gehele getallen, al het andere is het werk van de mens.
Kronecker geloofde dat de wiskunde zich alleen met eindige getallen en met een eindig aantal bewerkingen moest bezighouden. Hij was de eerste die twijfelde aan de betekenis van niet-constructieve existentiebewijzen. Het blijkt dat Kronecker vanaf het begin van de jaren 1870 gekant was tegen het gebruik van irrationale getallen, boven- en ondergrenzen, en de stelling van Bolzano-Weierstrass, wegens hun niet-constructieve aard. Een ander gevolg van zijn filosofie van de wiskunde was dat voor Kronecker transcendentale getallen niet konden bestaan.
In 1870 publiceerde Heine een artikel over goniometrische reeksen in Crelle’s Journal, maar Kronecker had geprobeerd Heine ervan te overtuigen het artikel in te trekken. Kronecker probeerde opnieuw in 1877 de publicatie van Cantors werk in Crelle’s Journal te verhinderen, niet vanwege persoonlijke gevoelens tegen Cantor (wat door sommige biografen van Cantor is gesuggereerd), maar veeleer omdat Kronecker van mening was dat Cantors artikel zinloos was, omdat het resultaten bewees over wiskundige objecten waarvan Kronecker dacht dat ze niet bestonden. Kronecker zat in de redactie van Crelle’s Journal, waardoor hij een bijzonder sterke invloed had op wat er in dat tijdschrift gepubliceerd werd. Na de dood van Borchardt in 1880 nam Kronecker de controle over Crelle’s Journal over als redacteur en zijn invloed op welke artikelen gepubliceerd zouden worden nam toe.
Het wiskundig seminarie in Berlijn was in 1861 gezamenlijk opgericht door Kummer en Weierstrass en, toen Kummer in 1883 met pensioen ging, werd Kronecker medebestuurder van het seminarie. Dit vergrootte Kroneckers invloed in Berlijn. Kroneckers internationale faam verspreidde zich ook, en hij werd geëerd door op 31 januari 1884 te worden verkozen tot buitenlands lid van de Royal Society of London. Hij was ook een zeer invloedrijke figuur binnen de Duitse wiskunde :-
Hij legde andere contacten met buitenlandse wetenschappers door talrijke reizen naar het buitenland en door hen de gastvrijheid van zijn Berlijnse huis te verlenen. Om deze reden werd zijn advies vaak gevraagd met betrekking tot het vervullen van hoogleraarschappen in de wiskunde, zowel in Duitsland als elders; zijn aanbevelingen waren waarschijnlijk even belangrijk als die van zijn toenmalige vriend Weierstrass.
Hoewel Kroneckers visie op de wiskunde gedurende de jaren 1870 en 1880 goed bekend was bij zijn collega’s, was het pas in 1886 dat hij deze visie openbaar maakte. In dat jaar sprak hij zich uit tegen de theorie van irrationele getallen die gebruikt werd door Dedekind, Cantor en Heine en gaf hij de argumenten waarmee hij zich verzette:-
… de invoering van verschillende concepten met behulp waarvan men in recente tijden (maar eerst door Heine) vaak geprobeerd heeft om de “irrationalen” in het algemeen op te vatten en vast te stellen. Zelfs het begrip oneindige reeks, bijvoorbeeld een reeks die toeneemt met bepaalde machten van variabelen, is mijns inziens slechts toelaatbaar onder het voorbehoud dat in elk bijzonder geval, op basis van de rekenkundige wetten van de opbouw van termen (of coëfficiënten), … bepaalde veronderstellingen moeten worden aangetoond die van toepassing zijn op de reeksen als eindige uitdrukkingen, en die aldus de uitbreiding buiten het concept van een eindige reeks werkelijk onnodig maken.
Lindemann had in 1882 bewezen dat π transcendentaal is, en in een lezing gegeven in 1886 complimenteerde Kronecker Lindemann met een mooi bewijs, maar, beweerde hij, een bewijs dat niets bewees aangezien transcendentale getallen niet bestonden. Kronecker was dus consistent in zijn argumenten en zijn overtuigingen, maar vele wiskundigen, trots op hun hard verdiende resultaten, hadden het gevoel dat Kronecker probeerde de koers van de wiskunde te veranderen en hun onderzoekslijn uit de toekomstige ontwikkelingen te schrijven. Kronecker legde zijn programma, gebaseerd op het bestuderen van alleen wiskundige objecten die met een eindig aantal bewerkingen uit de gehele getallen geconstrueerd konden worden, uit in Über den Zahlbergriff Ⓣ in 1887.
Een ander kenmerk van Kroneckers persoonlijkheid was dat hij de neiging had om persoonlijk ruzie te maken met diegenen met wie hij het wiskundig oneens was. Gezien zijn overtuiging dat er slechts eindig construeerbare wiskundige objecten bestonden, was hij natuurlijk volledig gekant tegen de zich ontwikkelende ideeën van Cantor in de verzamelingenleer. Niet alleen Dedekind, Heine en Cantors wiskunde was onaanvaardbaar voor deze manier van denken, en Weierstrass kreeg ook het gevoel dat Kronecker de volgende generatie wiskundigen ervan probeerde te overtuigen dat Weierstrass’ werk op het gebied van analyse van geen waarde was.
Kronecker had geen officiële functie in Berlijn totdat Kummer in 1883 met pensioen ging en hij benoemd werd tot leerstoelhouder. Maar tegen 1888 vond Weierstrass dat hij niet langer met Kronecker in Berlijn kon samenwerken en besloot hij naar Zwitserland te gaan, maar toen hij zich realiseerde dat Kronecker in een sterke positie zou verkeren om de keuze van zijn opvolger te beïnvloeden, besloot hij in Berlijn te blijven.
Kronecker was van zeer kleine gestalte en uiterst zelfbewust over zijn lengte. Een voorbeeld van hoe Kronecker reageerde deed zich voor in 1885 toen Schwarz hem een groet stuurde met daarin de zin:-
Hij die de Kleinere niet eert, is de Grotere niet waardig.
Hiermee maakte Schwarz een grapje over de kleine Kronecker en de grote Weierstrass. Kronecker zag er echter de grappige kant niet van in en heeft nooit meer iets met Schwarz (die Weierstrass’ leerling en Kummer’s schoonzoon was) te maken gehad. Anderen echter toonden meer tact en bijvoorbeeld Helmholtz, die vanaf 1871 hoogleraar in Berlijn was, wist op goede voet met Kronecker te blijven.
De Deutsche Mathematiker-Vereinigung werd in 1890 opgericht en de eerste bijeenkomst van de vereniging werd in september 1891 in Halle georganiseerd. Ondanks het bittere antagonisme tussen Cantor en Kronecker, nodigde Cantor Kronecker uit om deze eerste bijeenkomst toe te spreken als een teken van respect voor een van de oudste en meest eminente figuren in de Duitse wiskunde. Kronecker sprak de vergadering echter nooit toe, omdat zijn vrouw in de zomer ernstig gewond raakte bij een klimongeluk en op 23 augustus 1891 overleed. Kronecker overleefde zijn vrouw slechts enkele maanden, en overleed in december 1891.
We moeten niet denken dat Kroneckers opvattingen over wiskunde totaal excentriek waren. Hoewel het waar is dat de meeste wiskundigen van zijn tijd het niet eens zouden zijn met die opvattingen, en inderdaad de meeste wiskundigen van vandaag zouden het er niet mee eens zijn, werden ze niet terzijde geschoven. Kronecker’s ideeën werden verder ontwikkeld door Poincaré en Brouwer, die vooral de nadruk legden op intuïtie. Het intuïtionisme benadrukt dat de wiskunde voorrang heeft op de logica, dat de objecten van de wiskunde door de wiskundige in de geest worden geconstrueerd en bewerkt, en dat het onmogelijk is de eigenschappen van wiskundige objecten te definiëren door eenvoudigweg een aantal axioma’s vast te stellen.