Nu het New Horizons-ruimteschip Pluto nadert, maakt het enkele prachtige opnamen. De animatie hieronder laat zien hoe Pluto en Charon in een baan om elkaar heen draaien.
Als een planeet (of dwergplaneet) een satelliet heeft, kun je de beweging van dat object gebruiken om de massa van de planeet te bepalen. Dat is niet zo moeilijk. Laten we de animatie hierboven gebruiken om de massa van Pluto te schatten. Ok, er is maar één ding dat we nodig hebben en dat niet in de video staat. We moeten de afstand tussen Charon en Pluto weten. Als ik het gezichtsveld van de camera zou weten, zou ik de baanafstand kunnen afleiden uit de hoekafstand tussen de twee objecten. Voor dit voorbeeld zal ik deze waarde echter gewoon opzoeken en een Pluto-Charon afstand van 1,957 x 107 m gebruiken.
Ook een paar andere opmerkingen over deze Pluto-Charon video.
- De opeenvolging van beelden toont Pluto en Charon terwijl het ruimtevaartuig de twee objecten nadert. Dit betekent dat de afstandsschaal in elk frame verandert.
- Deze video is relatief ten opzichte van het massamiddelpunt van de Charon-Plutobaan. Je kunt zien dat zowel Pluto als Charon rond een gemeenschappelijk middelpunt draaien.
- We bekijken de baan niet vanuit een volledig loodrechte hoek. Dit betekent dat Charon niet in een cirkel lijkt te bewegen (ook al is dat in wezen wel zo).
Basisfysica
Er zijn eigenlijk maar twee natuurkundige principes die we voor dit probleem nodig hebben: de zwaartekracht en de versnelling van een voorwerp dat in een cirkel beweegt. Laten we beginnen met de zwaartekracht.
Het model voor de zwaartekrachtinteractie zegt dat er een aantrekkende kracht is op voorwerpen met massa. De grootte van deze kracht is evenredig met het product van de massa’s van de twee voorwerpen die op elkaar inwerken en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tussen de voorwerpen. Ik kan de grootte van deze kracht schrijven als:
De G is gewoon een constante, dus daar hoef je je geen zorgen over te maken. Maar er is nog één ding dat belangrijk is. De gravitatiekracht trekt de twee objecten altijd naar elkaar toe en is in de richting van het andere object.
Het andere belangrijke idee is om te kijken naar de versnelling van een object dat in een cirkel beweegt-ja, zowel Pluto als Charon bewegen in een cirkel om een gemeenschappelijk middelpunt. Hier is een diagram (maar niet op schaal).
Elk voorwerp dat in een cirkel beweegt (zelfs met een constante snelheid), zal versnellen. De richting van deze versnelling is naar het middelpunt van de cirkel gericht en heeft een grootte die afhangt van zowel de hoeksnelheid als de straal van de cirkel. Deze versnelling kan worden geschreven als:
Hier is de ω de hoeksnelheid van het voorwerp in radialen per seconde. Maar ik denk dat er nog één natuurkundig ding is om naar te kijken: de relatie tussen kracht en versnelling. Simpel, hoe groter de netto kracht op een voorwerp, hoe groter de versnelling.
Nu alles op een rijtje. De kracht is de gravitatiekracht en de versnelling is het gevolg van de cirkelbeweging. Er is één addertje onder het gras. Als ik dit opschrijf voor de beweging van Charon, dan wordt voor de gravitatiekracht de afstand van Charon tot Pluto gebruikt, maar voor de versnelling de afstand van Charon tot het middelpunt van de draaibeweging. Voor alle duidelijkheid noem ik de afstand tussen de objecten r en de straal van de cirkelbaan van Charon rc. En omdat de gravitatiekracht (de enige kracht) in dezelfde richting gaat als de versnelling, kan ik dit schrijven als een scalaire vergelijking.
De massa van Charon telt niet mee en dus kan ik de massa van Pluto oplossen.
Alles wat ik dus nodig heb zijn de twee afstanden en de hoeksnelheid van de baan van Charon.
Waarden vinden
Ik zei al dat ik de afstand van Pluto tot Charon zou gaan opzoeken. Ik heb echter de afstand van Charon tot het middelpunt van de baancirkel nodig. Door de beeldjes van de animatie over te slaan, kan ik het beeldje vinden waarop Charon en Pluto het verst uit elkaar staan – op dat punt kan ik de volledige afmeting van de baan zien (geen perspectief). Met dit beeld en de afstand van Pluto tot Charon, krijg ik een cirkelvormige baanradius van 1,69 x 107 m.
Nu heb ik alleen nog de hoeksnelheid van de baan nodig. Als ik een frame kies met Charon bijna boven Pluto en dan wanneer hij er bijna onder is, zou dat een halve baan zijn. Als ik naar de tijdstempels op elk frame kijk, zou dat een tijd van ongeveer 3,2 dagen (276.480 seconden) opleveren. De hoeksnelheid zou dan zijn:
Met een gravitatieconstante van G = 6,67 x 10-11 N*m2/kg2 kan ik al mijn waarden invoeren om de massa te berekenen. Als ik de getallen kraken, krijg ik een massa van Pluto van 1,24 x 1022 kg. BOEM. Dit komt aardig in de buurt van de waarde die op 22Wikipedia wordt genoemd met een waarde van 1,3 x 1022. Ik beschouw dit als dichtbij genoeg om als een overwinning te tellen.
Hoe zit het met de massa van Charon? Je kunt ditzelfde idee en de baanafstand gebruiken voor de baan van Pluto en een massaschatting maken. Het is een huiswerkopdracht voor je.
Numeriek model
Hier is voor de lol een numeriek model dat de beweging van Pluto en Charon laat zien.
De bovenstaande code staat op trinket.io. Dit betekent dat je zowel naar de code kunt kijken EN de code kunt wijzigen. Probeer de massa’s van de planeten te veranderen en kijk wat er gebeurt. Merk op dat als het initiële momentum van de twee planeten niet optelt tot de nulvector, het massamiddelpunt niet stationair blijft. Het is leuk spul.