Morrow komt uit een hockeyfamilie. Zijn vader, Dave Morrow, speelde voor de Indianapolis Racers van de World Hockey Association.

De Pittsburgh Penguins selecteerden Morrow in de eerste ronde (nr. 23) van de 2011 NHL Draft, maar hij speelde nooit een wedstrijd voor hen na het tekenen op 3 aug. 2011.

Hij speelde nog een seizoen voor Portland van de Western Hockey League, eindigend met 64 punten (17 goals, 47 assists) in 62 wedstrijden. Morrow bracht het grootste deel van het seizoen 2012-13 door bij Wilkes-Barre/Scranton van de American Hockey League voordat hij op 24 maart 2013 werd geruild naar de Dallas Stars.

Op 4 juli 2013 werd Morrow overgenomen door de Boston Bruins als onderdeel van een acht-speler handel die forward Tyler Seguin naar de Stars stuurde. Morrow maakte zijn NHL-debuut bij de Bruins op 30 oktober 2014, en scoorde zijn eerste NHL-doelpunt tegen de Penguins op 24 november. Na nog drie wedstrijden te hebben gespeeld, werd hij echter voor de rest van het seizoen naar Providence van de AHL gestuurd.

Morrow speelde 33 wedstrijden voor de Bruins in 2015-16 en 17 in 2016-17 voordat hij op 1 juli 2017 als vrije agent tekende bij de Montreal Canadiens. Hij had zijn beste aanvallende seizoen in de NHL (vijf goals, zes assists) in 38 wedstrijden voordat hij werd overgenomen door de Winnipeg Jets op 26 feb. 2018.

Morrow had vijf punten (één goal, vier assists) in 18 wedstrijden voor de Jets. Hij kleedde zich voor zes van hun 17 wedstrijden in de Stanley Cup Playoffs, waaronder het scoren van het winnende doelpunt in Game 1 van de Western Conference First Round tegen de Minnesota Wild.

De Jets ondertekenden Morrow op 26 juni 2018 voor een eenjarig contract.

NOTES & TRANSACTIES

• WHL West First All-Star Team (2012)
• Geruild naar Dallas door Pittsburgh met Pittsburgh’s 5e ronde pick (Matej Paulovic) in 2013 NHL Draft voor Brenden Morrow en Minnesota’s 3e ronde pick (eerder verworven, Pittsburgh selecteerde Jake Guentzel) in 2013 NHL Draft, 24 maart 2013.
• Geruild naar Boston door Dallas met Loui Eriksson, Reilly Smith en Matt Fraser voor Tyler Seguin, Rich Peverley en Ryan Button, 4 juli 2013.
• Getekend als vrije agent door Montreal, 1 juli 2017.
• Geruild naar Winnipeg door Montreal voor Winnipeg’s 4e ronde pick in 2018 NHL Draft, 26 februari 2018.
• Getekend als free agent door New Jersey, 6 oktober 2019.