Paul Cohen (1934-2007)

Paul Cohenは戦争中に流入したヨーロッパ系亡命者に刺激を受けた新しい世代のアメリカの数学者の一人であった。 彼自身はユダヤ系移民の二世でしたが、おどろくほど知的で非常に野心的でした。 9035>

ニューヨーク、ブルックリン、シカゴ大学で教育を受け、スタンフォード大学の教授に昇進した。 その後、数学の権威あるフィールズ・メダルをはじめ、全米科学メダル、数理解析のボシェ記念賞などを受賞しています。 1960年代初頭、ヒルベルトの23の未解決問題のうちの最初の問題、カントールの連続体仮説（すべての自然数（整数）の集合よりも大きく、実数（小数）の集合よりも小さい数の集合が存在するかどうか）に真剣に取り組み、その結果、自然数（整数）の集合よりも大きい数の集合が存在することを突き止めた。 9035>

Zermelo-Fraenkel Axiom と Axiom of Choice のいくつかの別の定式化の1つ

カントールの後にいくつかの進歩があった。 1908年頃から1922年にかけて、エルンスト・ツェルメロとアブラハム・フレンケルが、ツェルメロ・フレンケル集合論（ZF、あるいは選択の公理による修正でZFCと呼ばれる）として、のちに数学の最も共通の基礎となる公理的集合論の標準形式を作り上げたのである。

クルト・ゲーデルは1940年に、連続体仮説がZFと矛盾しないこと、選択公理を採用しても標準的なツェルメロ・フレンケル集合論からは連続体仮説が反証されないことを証明しました。 9035>

Forcing Technique

コーエンの驚くべき大胆な結論は、「forcing」という彼自身が開発した新しい技法を使って到達したもので、両方の答えが真となりうる、すなわち連続体仮説と選択の公理はZF集合論から完全に独立しているというものであった。 つまり、連続体仮説が真で（そのような数の集合は存在しない）、仮説が偽で（そのような数の集合は存在する）、2つの異なる、内部的に一貫した数学が存在しうるということであった。 この証明は正しいように思われたが、コーエンの方法、特に彼の新しい手法である「強制」は非常に新しく、1963年にゲーデルがついに承認の印を押すまで、誰も本当のところはよくわからなかった。 それ以来、数学者は連続体仮説が適用される世界とされない世界の2つの数学的世界を構築し、現代の数学的証明には、結果が連続体仮説に依存するかどうかを宣言する文を挿入しなければならない。

コーエンのパラダイムを変える証明によって彼は名声と富と数学賞を大量に得て、スタンフォードとプリンストンのトップ教授に就任した。 この成功に気を良くした彼は、現代数学の聖杯といわれるヒルベルトの第8の問題、リーマン仮説に取り組むことを決意する。 しかし、結局、2007年に亡くなるまでの40年間をこの問題に費やし、いまだに解決には至っていない（ただし、彼のアプローチは、彼の優秀な弟子であるピーター・サルナックなど、他の人々に新しい希望を与えている）。