Idea

Dr. von Neumann, I m¶chte gerne wissen, wast denn eigentlich ein Hilbertscher Raum ? 1

ヒルベルト空間とは、ユークリッド幾何学の伝統的な空間の（おそらく）無限次元の一般化で、距離と角度の概念がまだ十分に意味をなしているものである。 これは、ドット積を一般化した内積という代数演算によって行われます。

ヒルベルト空間は、量子系の純粋状態を組織化する物理学への応用によって、広く世界に知られるようになったのです。

ヒルベルト空間はHilbというカテゴリを形成しています。

• ヒルベルト空間の初歩的な扱いも参照してください。

定義

VVを複素数場上のベクトル空間とする。 (場の選択は多少一般化できる)VV上の内積(最も一般的な、不定な意味での)は関数

それは、（1â3）正三角形で、（4）共役対称である；ということである。

1. â¨0,xâ©=0 \langle 0, x \rangle = 0 および â¨x,0â©=0 \langle x, 0 \rangle = 0 ;
2. â¨x+y,zâ©=â¨x,zâ©+â¨y,zâ© \langle x + y, z \rangle = \langle x, z + \langle y, また、â¨x,y+zâ©=â¨x,yâ©+¨x,zâ© \langle x, y + z \langle x, y + z \rangle x, z ;
3. â¨cx,yâ©=c¯â¨x,yâ© \langle c x, y \rangle = \bar{c}. \langle x, y \rangle and â¨x,cy©=câ¨x,yâ© \langle x, c \rangle = c \langle x, y ;
4. â¨x,yâ©=â¨y,x⩯ \langle x, y \rangle = \overline{langle y, x \rangle} .

ここで、内積は第2変数ではなく第1変数において共役線形であるという物理学者の慣例を、逆の数学者の慣例ではなく、使っています。 物理学者の慣例は、22-Hilbert空間に少し適合している。 内積の値としてスカラーと同じ場を使うことに注意。場の選択によっては複素共役は関係ないだろう。 まず、(1)はc=0c=0とすることで(3)から導かれますし、(1â3)は対になっており、(4)で導かれるので片方だけで良いのです。 さらに、VVが位相的ベクトル空間であり、内積が連続であると仮定すれば、（2）から（3）を導くことも可能です（後述するように、ヒルベルト空間では常に正しい）＜7091＞＜3234＞次に定義する概念は、（半）確定性です。 関数âââ 2:Vââ|{-}}^2: V \to \mathbb{C} by âxâ 2=â¨x,xâ©|x|^2 = \langle x, x \rangle; 実はâââ 2|{-}|^2 は実数しかとりません、by (4) です。 * 内積が正半正定値、または単に正であるのは、âxâ 2â¥0}x|^2 \geq 0 が常にある場合です。 * (1) により、x=0x = 0 のとき âxâ 2=0|x|^2 = 0 であることに注意してください。 * 内積が正で定数であれば、正定値である。 * 余談ですが、負の(半)定内積というのもあって、少し不便ですが、あまり変わりません。

内積が完全であるのは、任意の無限列 (v 1,v 2,♪)(v_1, v_2, \ldots) が以下の通りであるときです

there exists a (necessarily unique sum SS such that

内積が定積であれば、この和は存在すれば一意でなければならず、

（その和が存在しなければ右辺は不定）

するとヒルベルト空間とは単に完全正定内積を備えたベクトル空間となります。

Hilbert spaces as Banach spaces

内積が正なら、âxâ 2=â¨x,xâ©|x}^2 = \langle x, x \rangle の主平方根を取って実数 âxâ|x}, the norm of xx が得られます。 さらに平行四辺形の法則

を満たしていますが、すべてのバナッハ空間は満たしていなくてもかまいません。 (この法則の名前は幾何学的な解釈に由来しており、左辺のノルムは平行四辺形の対角線の長さであり、右辺のノルムは辺の長さである)この法則はすべてのバナッハ空間が満たす必要はない。)

さらに、平行四辺形の法則を満たす任意のバナッハ空間は、ノルムを再現する一意の内積を持ち、

あるいは実数の場合は12(âx+yâ 2âxâyâ 2)\frac{1}{2}(\|x + yâ|^2 – \|x – yâ|^2)

従って、Hilbert空間はparallelogram則を満たすBanach空間と定義することが可能である。 正半正定値内積空間は平行四辺形の法則を満たす擬似弓形のベクトル空間です。 (ただし、ノルムから不定内積を復元することはできない)

計量空間としてのヒルベルト空間

任意の正の半正定値内積空間で、距離 d(x,y)d(x,y) を

するとddは擬似計量であり、ヒルベルト空間があれば、完全計量である。

実際、バナッハ空間(または擬似ベクトル空間)の公理はすべて計量で書くことができる。また平行四辺形の法則を次のように述べることができる：

定義において、完全性の要件を述べるためだけにメトリックを導入するのが最もよく見られることであろう。 実際、(1)は部分和の列がコーシー数列であることを言い、(2)は部分和の列がSSに収束することを言う。

共形空間としてのヒルベルト空間

二つのベクトルxxとyyが共に0でないとき、それらの間の角度をθ(x,y) \theta(x,y) その余弦は

(この角度は一般に虚数かもしれませんが、âmathbb{R}上のHilbert空間ではそうではないことに注意してください。)

しかし、Hilbert空間をその角度から完全に再構成することはできません(基礎となるベクトル空間が与えられてもです。). 内積は正のスケールファクターまでしか復元できない。

Morphisms of Hilbert spaces

バナッハ空間での議論を参照。 また、Hilbert spacesの理論がâmathbb{C}の上で若干きれいで、Banach spacesの理論がâmathbb{R}の上で若干きれいな理由も含めて）。

Examples

Banach spaces

pp-パラメータ付きの例はすべて、p=2p = 2とすれば Banach space のところで述べていることが適用できます。

特に、nn次元ベクトル空間â nmathbb{C}^nは、

âânmathbb{C} の任意の部分場 KK は、その補完が ânmathbb{R}^n または ânmathbb{C}^n の正定内積空間 K nK^n を与えます。 特に、デカルト空間â nmathbb{R}^nは実ヒルベルト空間であり、上で定義した距離と角度の幾何学的概念は、この例では通常のユークリッド幾何学と一致する。

Of Lebesgue square-integrable functions over a manifold

L- Hilbert spaces L 2(â)L^2(\mathbb{R}), L 2()L^2(), L 2(â 3)L^2(\mathbb{R}^3) 等（実数と複素数）は非常によく知られています。 一般に、測度空間XXのL 2(X)L^2(X) は、XXからスカラー場（♪mathbb{R} or âmathbb{C}）へほぼどこでも定義できる関数ffで、その関数がほぼどこでも等しければff|2が有限個に収束し、同定されるものである。 は、â¨f,gâ©=â “f¯g﹡langle f, g﹡rangle = \int﹡bar{f} gとなり、CaucyâSchwarz不等式により収束する。 ここに挙げた特定の場合（一般にXXが局所的にコンパクトなHausdorff空間の場合）には、コンパクトに支持された連続関数の正定値内積空間を補完することによっても、この空間を得ることができる。

正方積分可能な半密度の

• 半密度の正準ヒルベルト空間

性質

基底

基本的にはヒルベルト空間はすべて同じ型であることが基本的結果である。 すなわち、すべてのHilbert空間HHは正規直交基底を認め、その包含写像が(必ず一意に)Hilbert空間の同型性

に拡張する部分集合SâHS \subseteq Hを認めることである。 ここで、l 2(S)l^2(S) は、

âxâ 2=â u:S|x u| 2 \|x|^2 = \sum_{u.S} が成り立つようなSSからスカラー場までの関数xxからなるベクトル空間である。 S} |x_u|^2

は有限個に収束する。 これはまた、SSの要素の形式的線形結合のベクトル空間を、

in which δ uv έdelta_{u v}はKronecker deltaを示して一義的に決まる内積で完成すると得られるかも知れません。 したがって、l 2(S)l^2(S) において、

(この和はCauchyâSchwarz不等式により収束する。)

一般に、この結果はその証明において選択の公理（通常はZornのレンマと排中部の形で）を用い、それと同等とするものである。 しかし、分離可能なヒルベルト空間に対する結果は従属選択のみを必要とするので、ほとんどの学校の基準では構成的である。 従属選択がなくても、特定のL 2(X)L^2(X) の明示的な正規直交基底は、しばしばグラムシュミット過程と協調して、恒等式の近似を用いて生成できる。

特に、すべての無限次元分離可能ヒルベルト空間はl 2(♪)l^2(♪mathbb{N}) と抽象的に同型である。

コーシー・シュワルツの不等式

シュワルツの不等式(またはコーシーÐѽѺÐвѺи¹Schwarz inequality 等)は非常に便利です：

これは実際には2つの定理（少なくとも）です。不等式が任意のHilbert空間で成り立つという抽象的定理と、内積とノルムが上記の例L 2(X)L^2(X) とl 2(S)l^2(S) で用いた公式で定義されていれば成り立つ具体的定理があるのです。 具体的な定理は、ヒルベルト空間に属さない関数にも適用されるので、ノルムが収束すればいつでも内積が収束することが証明される。 (この収束を建設的に結論づけるには、もう少し強い結果が必要で、Errett Bishopの本に載っていることがある。)

• rigged Hilbert space

• Hilbert C-star-module, ヒルベルト二分子

• KÃEA¤hler vector space

量子力学におけるヒルベルト空間の標準的な説明には

• ジョン・フォンノイマン, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanikがあります。

  （独）量子力学の数理的基礎. ドイツ、ベルリン。 Springer Verlag, 1932.

• George Mackey, The Mathematical Foundations of Quamtum Mechanics A

  Lecture-note Volume, ser.S.M.S.A.編『量子力学の数学的基礎』(岩波書店). The mathematical physics monograph series. Princeton university, 1963

• E. PrugoveÄki, Quantum mechanics in Hilbert Space. Academic Press, 1971.