Idea

ゲージ理論は、場の構成が微分コホモロジー（abelian or nonabelian）のコサイクルを持つ古典場の理論または量子場の理論のいずれかを示す場合があります。

通常のゲージ理論

通常のゲージ理論は場の構成がつながりを持つベクトル束の量子場の理論である。

これには、特に素粒子物理学の標準モデルの3つの基本力を担う場が含まれます：

  • 磁荷のない普通の電磁気は、U（1）U（1）-主束のゲージ理論であり、接続があります。

  • ヤンミルズ理論（素粒子物理学の標準モデルやGUTに現れるような）の場は、接続を持つベクトル束です。

他の例としては、形式的な物理モデルも含まれます。

  • Dijkgraaf-Witten理論は、場の構成が有限群GGに対するGG主束（これらはユニークな接続を持っているので、この単純なケースでは接続は余計なデータではない）であるゲージ理論であり、これらの例における群GGは理論のゲージ群と呼ばれています。

    高次・一般化ゲージ理論

    上記のゲージ場の例は、11次微分コホモロジーにおけるコサイクルで構成されていました。

    より一般的には、高次ゲージ理論とは、場の構成がより一般的な微分コホモロジー、例えば高次デリン・コサイクルやより一般的に微分K理論など他の微分細分類におけるコサイクルにある量子場の理論であることを示しています。

    この一般化には、

    • 電磁気学における磁流は、次数33のアイレンベルグ・マクレーンコホモロジーにおけるコサイクルを洗練したデリーニュコサイクルと接続するバンドルガーブであり、磁荷である、などの実験的に見える物理が含まれています。

    しかし、高次の超重力理論の研究により、より高次で一般化されたゲージ理論の塔が見えてきました。

    • カルブ・ラモンド場は、曲率3-形式を持つデリンネ・コサイクルという接続を持った束ゲルであり、この束ゲルによって、磁性体の磁気モーメントが変化します。

    • 超重力C場は曲率4-形式のDeligne cocycle。

    • RR場は微分K理論のcocycle。

    （非）ゲージ理論としての重力

    1次定式化の重力理論も少しゲージ理論と似たところがあるような気がします。 しかし、決定的な違いがあります。 重力の場はヴィエルバイン場、すなわち接線束上の直交構造、したがってG構造の一例として符号化され、このG構造のねじれの自由度は補助接続、すなわちカルタン接続、この文脈ではしばしばâspin接続と呼ばれる、によって符号化されるかもしれない。 したがって、カルタン幾何学の定式化では、重力は純粋なゲージ理論を支配する微分幾何学の多くの要素によって記述されますが、全く同じではありません。 特に、カルタンの接続には制約があり、ビエルバイン場の観点からは、ビエルバイン（カルタンの接続の一部）が非縮退であり、したがって、本当にâsoldering formであるという制約があるのである。

    性質

    Non-redundancy and locality

    物理学の理論の記述において、ゲージ対称性は単なる冗長性であるという見解が示されることがあります（例えば、観測量の中で物理的に意味を持つのはゲージ不変なものだけである、というものです）。

    しかし、この発言は

    異常

    磁荷がある場合（キラルフェルミオン異常がない場合も）、高ゲージ理論の標準作用関数は定義されないことがあります。 グリーン・シュワルツ機構は微分コホモロジーにおける有名な現象で、このような量子異常がキラルフェルミオンによって与えられる異常と相殺されます。

    ゲージ場とそのモデルの一覧

    以下では、物理学におけるゲージ場のいくつかのコレクションと微分コホモロジーによるそのモデル、さらに詳細を概観しようと試みます。

    • Yang-Mills場

      • 最低次の非平均微分コホモロジーにおける巡回

        • 元々は微分?の観点から実現された。ech cocycles

          F^âH(X,B¯G) \hat F \in \mathbf{H}(X, \bar \mathbf{B} G)

          with coefficients in the groupoid of Lie-algebra valued forms,

          すると、従来は接続

        • 群GGに依存する場の強さを持つベクトル束の観点から、

        • G=U(1)G = U(1) – となった。 電磁気学（後述）

          • G=SU(2)ÃU(1)G = SU(2)\times U(1) – 電弱力場強度

    • G=SU(3)G = SU(3) – 強い核力場

  • パラレル輸送………………………….: Wilson lines

electromagnetic field

  • cocycle in degree-22 ordinary differential cohomology
    • naturally/historically realized terms of Maxwell-Dirac presentation as a cycle in?echâDeligne cocycle
      F^âH(X,B¯ U(1)) \ЪЪЪЪЪ U(1))

  • の電界強度である。 F=Eâ§dt+â 3B F = E \wedge d t + \star_3 B

  • on X=â 3{0}X = \mathbb{R}^3יbackslash \{0}}: underlying class in integral cohomology cl(F^)âH(X,BU(1))âH 2(X,â¤)cl(\hat F) \in H(X,\mathbf{B}) U(1)) \H^2(X,\mathbb{Z}) は磁荷

  • 平行輸送です。

Kalb-Ramond field

  • cocycle in degree-33 ordinary differential cohomology

    • 当然/歴史的に

      • a cocycle in ?echâDeligne cocycle
        H^âH(X,B¯ 2U(1))\hat H╱(X,bar \mathbf{H}^2 U(1))

      • a bundle gerbe with connection

  • 場強度のあるもの。 HâΩ 3(X)H \in ω^3(X) the ♪HH-field♪ on a D-brane this is the magnetic current for Yang-Mills field on the brane

  • parallel transport: gauge interaction piece of action functional of the electrically charged quantum 2-particle (the string).これは電荷を帯びた量子粒子（ストリング）の作用関数。

  • 超重力C場

    • 程度44の常微分コホモロジーにおける巡回

      • 当然/歴史的に、?echâDeligne cocycle

        H^âH(X,B¯ 3U(1))のcocycleとして自然・歴史的に実現されている。 \hat H \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}^3 U(1))

        using D’Auria-Fre formulation of supergravity it may also be thought of the nonabelian differential cocycle given by a Cartan-Ehresmann ♪-connection

    • 場の強さを表します。 HâΩ 4(X)H \in ω^4(X) the âGG-fieldâ in heterotic supergravity this is the 5-brane magnetic current for the twisted Kalb-Ramond field

    • parallel transport: gauge interaction piece of action functional of the electric charged quantum 3-particle (the membrane)．

  • RR field

    • cocycle in differential K-theory
      • 非自明カルブ・ラモンド場があるとき：cocycle in differential twisted K-theory

    • 場強度があるとき。 RR形式

    • 物理学における繊維束

    • ゲージ

    • ゲージグループ

    • ゲージ変換。 高次ゲージ変換

    • BRST complex, BV-BRST formalism

    • ghost field.BV-BRST formalism

    • BV-BRST formalism

    • Ghost field, ghost-of-ghost field

    • ゲージ固定、ゲージ固定フェルミオン、ゲージ不変

    • 格子ゲージ理論

    • グリボフ両義

    • カイバーゲージ理論

    ゲージ磁場。 model and components

    。

    Chern-san>Lie代数Simons n-bundle

    physics differential geometry differential cohomology
    gauge field connect on a bundle cocyccle in differential cohomology
    instanton/charge sector principal bundle cocycle in underlying cohomology
    gauge potential local connection differential form local connection differential form 形式
    場の強さ 曲率 ド・ラムコホモロジーにおける基礎となる共振器
    ゲージ変換 等価 コバンダリー
    最小カップリング共変微分 ねじれコホモロジー
    BRST複素 モジュリスタックのリー代数 拡張ラグランジュ ユニバーサルチャルChern-san(チェルン)代数
    Chern-san> Chern-san> universal characteristic map

    • 高次U（1）ゲージ理論

      • higher electric background charge coupling

    • self-Japanデュアル高次ゲージ理論

    • 高次スピンゲージ理論

      • 量子異常

      • グリーン・・・・・・・・

    • 無限チャーンサイモン理論

    • 自由場理論

    一般

    一般教科書に記載。

    • Mike Guidry, Gauge Field Theories: An Introduction with Applications, Wiley 2008 (ISBN:978-3-527-61736-4)

    • 中原幹夫、10.5項。 Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

    物理学における繊維束の基本は、

    • Adam Marsh, Gauge Theories and Fiber Bundles に書かれているとおり。 Definitions, Pictures, and Results (arXiv:1607.03089)

    ゲージ理論の量子化における概念の紹介は

    • Nicolai Reshitikhin, Lectures on quantization of gauge systems (pdf)

    ゲージ系の量子化のためのBV-BRSTフォーマリズムに関する標準テキストは

    • Marc Henneauxにあります。 Claudio Teitelboim, Quantization of Gauge Systems Princeton University Press, 1992

    これに関する包括的な講義録は

    • geometry of physicsâ perturbative quantum field theoryにあります。

    微分コホモロジーによる abelian higher gauge theory の議論は

    • Dan Freed, Dirac charge quantization and generalized differential cohomology

    • Alessandro Valentino.S にあるとおりです。 微分コホモロジーと量子ゲージ場 (pdf)

    • Josà Figueroa-O’Farrill, Gauge theory (web page)

    • Tohru Eguchi, Peter Gilkey, Andrew Hanson, Gravitation, gauge theories and differential geometry, Physics Reports 66.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX.XXX:6 (1980) 213â393 (pdf)

    重力の文脈での議論については、

    • Edward Witten, Symmetry and Emergence (arXiv:1710.X) も参照してください。01791)

    In AQFT

    代数的量子場の理論（AQFT）の文脈でのゲージ理論の標準的な議論としては

    • Franco Strocchi, section 4 of Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, Found.Phys.を参照。 34 (2004) 501-527 (arXiv:hep-th/0401143)

    曲がった空間上のAQFTでは、局所性が破れない限り、AQFTの公理はより高い幾何学の文脈に昇格する必要があります。 3754>

    • Higher field bundles for gauge fields

    • Alexander Schenkel, On problem of gauge theories

      in locally covariant QFT_で解説しています。 talk at Operator and Geometric Analysis on Quantum Theory Trento, 2014 (web)

    これは、

    • Marco Benini, Claudio Dappiaggi, Alexander Schenkel, Quantized Abelian principal connections on Lorentzian manifolds, Communications in Mathematical Physics 2013 (arXiv:1303.2515)

    また、ゲージ理論に対応するために、曲がった空間上のAQFTの公理をスタッキー文脈に改良するプログラムには、以下の論文があります：

    • Marco Benini, Alexander Schenkel, Richard Szabo, Homotopy colimits and global observables in Abelian gauge theory (arXiv:1503.3, 2013).08839)

    • Marco Benini, Alexander Schenkel, Quantum Field theories on categories fibered in groupoids (arXiv:1610.06071)

    • Marco Benini, Alexander Schenkel, Urs Schreiber, the stack of Yang-Mills fields on Lorentzian manifolds (arXiv:1704.3), “量子場の量子場理論” (arXiv:173.3), “ローレンツ多様体の量子場理論” (arXiv:173.3), “ローレンツ多様体の量子場理論” (arXiv:173.3)01378)

    Dualities

    幾何学的Langlands双対との関係の説明は

    • Edward Frenkel, Gauge theory and Langlands duality (pdf)

    History

    形而上学におけるゲージおよびゲージ変換については

    • Georg Hegelにあります。 1812

    Hermann Weyl’s historical argument motivating gauge theory in physics from rescaling of units of length, 1918 in

    • Hermann Weyl, Raum, Zeit, Materie.The History of Physics, 1918, p. 5831

      ヘルマン・ヴァイルの長さ単位の変更から、物理学におけるゲージ理論を動機付ける、その歴史的議論が示されました。 Vorlesungen über die Allgemeine Relativitätstheorie, Springer Berlin Heidelberg 1923

      1918年のイースターに出版社（Springer）に届けられたWeylの最初の数学物理学の本、STM (Raum â Zeit â Materie) はWeylの新しい幾何とUFTへの提案が入っていない原稿だったのですが、その時、Weylの新しい幾何学的な提案は、「空間・時・物」（Saturday Time Matterie）の中に入っていました。 この本は、1917年の夏学期にチューリッヒ工科大学（ETH）で行われた講義のノートをもとに作られたものである。 ヴァイルは、この本の第3版（1919年）においてのみ、最近の研究成果を掲載した。 英語版とフランス語版（Weyl 1922b, Weyl 1922a）は、改訂第4版（1921）から翻訳され、Weylの一般化計量と電磁気学のスケールゲージ理論に関する短い説明が含まれている。 (Scholz）

    See

    • Erhard Scholz, H. Weylâs and E. E. Cartanâs proposals for infinitesimal geometry in the early 1920s (pdf)

    Early surveys include

    • John Iliopoulos, Progress in Gauge Theories, 1975 (spire.):3000）

    Quigley, On origins of gauge theory (pdf)

  • Afriat などのクイックレビューがあります。 Weylâs gauge argument (pdf)

    • More comprehensive historical accounts include

    • Lochlainn O’Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press (1997)

    • Lochlainn O’Raifeartaigh, Norbert Straumann, Gauge Theory.Gauge Theory.Dawning of Gauge Theory (1997): 歴史的起源といくつかの現代的発展 Rev. J.S.C. Mod. Phys. 72, 1-23 (2000).

      • Norbert Straumann, Early History of Gauge Theories and Weak Interactions (arXiv:hep-ph/9609230) Norbert Straumann, Gauge principle and QED, talk at PHOTON2005, Warsaw (2005) (arXiv:hep-ph/0509116)

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