Biography

Leopold Kroneckerの両親は裕福で、父のIsidor Kroneckerはビジネスで成功し、母のJohanna Prausnitzerも裕福な家の出であった。 クロネッカーは、死の1年前にキリスト教に改宗するまで、ユダヤ教を信仰していた。 クロネッカーの両親は、彼がLiegnitzのギムナジウムに入る段階まで彼を教えるために家庭教師を雇い、この家庭教師は、彼の教育の非常に健全な基盤を与えた。
クロネッカーLiegnitzギムナジウムでクマーから数学を教えられ、それはクマーに起因するクロネッカーが数学に興味を持った。 クマーはすぐにクロネッカーの数学の才能を見抜き、学校で期待される以上に彼を取り上げ、研究をするように促した。 ユダヤ人でありながら、ギムナジウムではルター派の宗教教育を受け、両親が宗教に対して寛容であったことがわかる。
1841年にベルリン大学の学生となり、ディリクレとシュタイナーに師事した。 しかし、彼は数学の勉強に限定されず、天文学、気象学、化学などの他のトピックを研究した。 特に哲学に興味を持ち、デカルト、ライプニッツ、カント、スピノザ、ヘーゲルの哲学的な作品を研究した。 1843年の夏、数学よりも天文学に興味をもって進学したボン大学で過ごした後、1843年から44年の冬学期はブレスラウ大学に進学する。 彼はブレスラウに行った理由は、確かに彼の数学への関心のために、彼は再び彼の古い学校の教師クマーに勉強したかったので、1842年にブレスラウの椅子に任命された。
クロネッカーブレスラウで1年を過ごした後、ベルリンに1844-45年の冬の学期を返されます。 ベルリンに戻った彼は、ディリクレの指導の下、代数的整数論に関する博士論文の執筆に取り組んだ。 論文「複素単位について」は1845年7月30日に提出され、8月14日に必要な口頭試問を受けた。 ディリクレはこの論文について、クロネッカーは

…並外れた洞察力、多大な勤勉さ、高等数学の現状に関する正確な知識を示した、と評している

多くの博士にとって驚きであろう。 クロネッカーは口頭で、天体観測に応用された確率論、定積分の理論、級数、微分方程式、さらにはギリシャ語、哲学史など、幅広いテーマについて質問されたと聞いて、多くの博士号取得者は驚くかもしれません。
ヤコビは健康問題を抱えていたため、椅子を置いていたケニグスベルクからベルリンに戻りました。 アイゼンシュタインも健康状態が悪く、この頃ベルリンで講義をしており、クロネッカーは二人をよく知ることになる。 その後のクロネッカーの数学的興味の方向性は、この頃のヤコビとアイゼンシュタインの影響と大いに関係がある。 しかし、学問の道に進むかと思われた矢先、クロネッカーは家庭の事情でベルリンを離れることになる。 母の兄の銀行業を手伝い、1848年にはその兄の娘ファニー・プラウスニッツァーと結婚した。 彼はまた、家族の財産を管理し、それでも数学の研究を続ける時間を見つけたが、これは完全に彼自身の楽しみのために行った。 彼の数学の楽しみは、しかし、1855年に状況が変化し、もはやリーグニッツ郊外の不動産に住んでいる必要がないときに、彼はベルリンに戻ったことを意味します。 彼は、大学のポストを希望していないむしろ彼は、大学の数学的生活に参加し、他の数学者との交流研究を実施したかった。
1855年にクマーは、空席を埋めるためにベルリンに来たディリクレはゲッティンゲンに向けて出発した。 ボルヒャルトは1848年からベルリンで講義をし、1855年末にはクレレの死によって『クレレ研究』の編集長を引き継いだ。 1856年にはヴァイアーシュトラスがベルリンに来たため、クロネッカーがベルリンに戻ってから1年以内に、クマー、ボルヒャルト、ヴァイアーシュトラス、クロネッカーという驚くべきチームがベルリンに結成された。
もちろんクロネッカーは大学の職についていなかったので、この時期に講義はしなかったが、研究は著しく活発で、多くの著作を次々と発表している。 その内容は、整数論、楕円関数、代数学などであるが、さらに重要なことは、これらのテーマ間の相互関係を探求したことである。 1860年、クマーはクロネッカーをベルリン・アカデミー会員に推薦し、ボルヒャルトとヴァイアーシュトラスがこれを支持した。 1861年1月23日、クロネッカーはアカデミーに選出され、これには驚くべき効果があった。
ベルリン・アカデミーの会員は、ベルリン大学で講義をする権利を得た。 クロネッカーは大学や他の組織に雇用されていなかったが、クマーはクロネッカーが大学で講義をする権利を行使することを提案し、彼は1862年10月からこれを実行した。 講義の内容は、数論、方程式論、行列式論、積分論など、彼の研究に関連したものであった。 講義では、

彼は既存の理論を単純化し、洗練させ、新しい視点からそれらを提示しようとした。

優秀な学生にとって、彼の講義は厳しいものであったが、刺激的なものであった。 しかし、一般の学生には人気のない教師であった：

クロネッカーは多くの学生を惹きつけることはなかった。

ベルリンはクロネッカーにとって魅力的であったので、1868年にゲッティンゲンの数学の椅子を提供されたとき、彼はそれを断った。 しかし、その年にパリ・アカデミーに選出されるなどの栄誉を受け、長年にわたってベルリンやその他の地域の同僚と良好な関係を保っていた。 1870年代になぜ関係が悪化し始めたのかを理解するためには、クロネッカーの数学的貢献をより詳細に調べる必要がある。
クロネッカーの主要な貢献は方程式と高等代数であり、楕円関数、代数方程式の理論、代数的数の理論で大きな貢献をしたことはすでに示した。 しかし、彼はすべての数学は整数と有限回のステップを含む議論に還元されると信じていたので、研究対象は限定されていた。 クロネッカーは、

神は整数を創造した、他のすべては人間の仕事である、

クロネッカーは、数学は有限の数と有限の数の操作だけを扱うべきだと信じていた。 彼は非構成的存在証明の意義を最初に疑った人物である。 1870年代初頭から、非構築的であるという理由で、無理数の使用、上・下限、ボルザノ・ワイヤーストラスの定理に反対していたようである。 数学の彼の哲学のもう一つの結果は、クロネッカーに超越数が存在することはできません。
1870年にハイネCrelleのジャーナルでは、三角関数列に論文を発表したが、クロネッカーの論文を撤回するハイネを説得しようとした。 1877年にもクロネッカーは『クレル・ジャーナル』にカントールの論文を掲載するのを阻止しようとしたが、これはカントールに対する個人的な感情（これはカントールの伝記作家によって示唆されている）ではなく、クロネッカーがカントールの論文は存在しないと信じる数学的対象についての結果を証明しているので無意味であると考えていたためであった。 クロネッカーは『クレル』誌の編集スタッフであったため、同誌に掲載される内容には特に強い影響力をもっていた。 1880年にボルヒャルトが亡くなると、クロネッカーは編集者として『クレル・ジャーナル』を掌握し、どの論文が掲載されるかに対する影響力を強めていったのです。 これにより、クロネッカーはベルリンでの影響力を高めた。 クロネッカーの名声は国際的にも広まり、1884年1月31日にはロンドン王立協会の外国人会員に選ばれる栄誉を得た。 また、ドイツ数学界でも非常に影響力のある人物であった：

彼は、海外を何度も旅行し、ベルリンの自宅でのもてなしを通じて、外国の科学者とのコンタクトを確立した。

クロネッカーの数学に対する考え方は、1870年代から1880年代にかけて同僚によく知られていたが、彼がその考えを公にしたのは1886年になってからであった。 この年、彼はデデキント、カントール、ハイネが用いた無理数の理論に反対し、次のような議論を展開した：

…最近（最初はハイネによって）しばしば「無理数」を考え、確立しようとする様々な概念の導入。 私の考えでは，無限級数，たとえば変数の明確な累乗に従って増加する級数の概念さえも，すべての特別な場合に，項（または係数）を構成する算術法則に基づいて，…許容されるに過ぎないのである。 リンデマンは1882年にπが超越的であることを証明し、クロネッカーは1886年の講演でリンデマンに対して、美しい証明だが超越数は存在しないので何も証明されていないと賞賛したのである。 しかし、多くの数学者は、自分たちが苦労して得た成果を誇りに思い、クロネッカーが数学の流れを変えようとしている、自分たちの研究分野を将来の発展から締め出そうとしていると感じていた。 クロネッカーは、1887年の『Über den Zahlbergriff Ⓣ』で、整数から有限回の演算で構成できる数学的対象のみを研究することに基づく自分のプログラムを説明しています。
クロネッカーのもう一つの特徴は、数学的に意見の異なる相手と個人的に対立する傾向があることでした。 もちろん、有限個の構成可能な数学的対象しか存在しないと考えていた彼は、カントールの集合論の発展にも完全に反対していた。 デデキントだけでなく、ハイネやカントールの数学もこの考え方には受け入れられず、クロネッカーが次世代の数学者たちに、ヴァイアーシュトラスの解析学の研究には価値がないと説得しようとしていると感じるようになった
クロネッカーは1883年にクマーが退任するまでベルリンでの公式な役職はなかった。 しかし、1888年にはヴァイアーシュトラスはベルリンでクローネッカーと一緒に仕事ができなくなると感じ、スイスに行くことを決めたが、その後、クローネッカーが自分の後継者の選択に強い影響を与える立場にあることを知り、ベルリンに留まることにした
クローネッカーは非常に小柄で、自分の背丈について極めて自意識過剰であったという。 クロネッカーがどのように反応したかというと、1885年、シュヴァルツから「

小さき者を敬わない者は、大いなる者にふさわしくない」という文言の入った挨拶状が送られてきたときのことである

ここでシュヴァルツは、小さなクロネッカーと大きなヴァイアーシュトラースをからかっている。 しかし、クロネッカーはこの発言の面白さに気づかず、シュヴァルツ（ヴァイアーシュトラスの弟子でクンマーの義理の息子）とはそれ以後付き合うことはなかったそうです。 1890年にはDeutsche Mathematiker-Vereinigungが設立され、1891年9月にはハレで最初の会合が開かれました。 カントールとクロネッカーの間には激しい対立があったが、カントールはこの最初の会合で、ドイツ数学界の先輩で最も著名な人物の一人であるクロネッカーに敬意を表し、演説するよう招待した。 しかし、クロネッカーは、夏に妻が登山中の事故で重傷を負い、1891年8月23日に死亡したため、この会合で演説することはなかった。 クロネッカーは妻より数カ月長生きしただけで、1891年12月に亡くなった。
クロネッカーの数学観がまったく風変わりであったと考えるべきではないだろう。 当時の数学者のほとんどがそのような意見に同意しないことは事実であり、実際、今日の数学者のほとんどが同意しないであろうが、その意見は脇に追いやられることはなかった。 クロネッカーの考えは、ポアンカレやブローウェルによってさらに発展し、彼らは特に直観を重視した。 直観主義は、数学は論理学に優先し、数学の対象は数学者が心の中で構築し操作するものであり、いくつかの公理を設定するだけでは数学的対象の性質を定義することは不可能であることを強調する
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