計量空間とは、数学、特に位相幾何学において、その任意の2点間の非負の距離を次の性質が成り立つように規定する、計量と呼ばれる距離関数を持つ抽象集合のことである。 (1)2つの点が同じである場合、1点目から2点目までの距離は0に等しい、(2)1点目から2点目までの距離は2点目から1点までの距離に等しい、(3)1点から2点までの距離と2点から3点までの距離の和は1点から3点までの距離を超えるか等しい、である。 このうち、最後の性質は三角形の不等式と呼ばれる。 フランスの数学者モーリス・フレシェは1905年に計量空間の研究を始めた。

実数直線上の通常の距離関数は計量であり、ユークリッドn次元空間における通常の距離関数もそうである。 また、数学者が興味を持つ、よりエキゾチックな例もある。 離散測度とは、任意の点の集合が与えられたとき、ある点からそれ自身への距離は0になり、任意の2つの異なる点間の距離は1になることを指定するものである。 ユークリッド平面上のいわゆるタキシカブ計量は、点 (x, y) から点 (z, w) までの距離を｜x – z｜ +｜y – w｜ と宣言する。 この「タキシキャブ距離」は、(x, y)から(z, w)への水平・垂直線分からなる経路の最小の長さを与えるものである。 解析学では、境界のある実数値連続関数または可積分関数の集合にいくつかの有用な測定基準がある

このように、測定基準は通常の距離の概念をより一般的な設定に一般化するものである。 さらに、集合 X 上のメトリックは、X の各点 p に対して、p からの距離が r より小さい X のすべての点の集合が U に完全に含まれるような正の（おそらく非常に小さい）距離 r がある場合にのみ、X の部分集合 U が開いていると宣言されるとき、X 上の開集合の集まり、すなわちトポロジーを決定する。 このように計量空間は位相空間の重要な例となる。

計量空間は、項が最終的に対的に任意に接近する点のすべての列（いわゆるコーシー列）が計量空間の点に収束する場合に完全であると言われる。 有理数上の通常の計量は、有理数のコーシー数列の中には有理数に収束しないものがあるので、完全とは言えない。 例えば、有理数列 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, … は有理数でない π に収束する。 しかし、実数上の通常の計量は完全であり、しかも、すべての実数は有理数のコーシー数列の極限である。 この意味で、実数は有理数の補完を形成している。 1914年にドイツの数学者フェリックス・ハウズドルフが行ったこの事実の証明は、あらゆる計量空間がこのような補完を持つことを示すよう一般化することができる。 今すぐ購読する