有理式の演算は、一部の学生には難しく見えるかもしれませんが、式の掛け算のルールは、整数の場合と同じです。 数学では、有理数とは、pとqを整数とし、qが0に等しくないp/qの形をとる数と定義されています。
有理数の例は以下の通りです。 2/3, 5/8, -3/14, -11/-5, 7/-9, 7/-15, -6/-11 など。
代数式とは、変数と定数を演算記号 (+, -, × & ÷) を使って結合した数学的表現です。 同様に、有理式はp/qの形で、pとqのどちらか、または両方が代数式になります。
有理式の例としては、次のようなものがあります。 3/ (x – 3), 2/ (x + 5), (4x – 1)/3, (x2 + 7x)/6, (2x + 5)/ (x2 + 3x – 10), (x + 3)/(x + 6) など。
有理式の乗算はどうするか？
今回は、有理式の掛け算を学びますが、その前に、2つの分数が掛け合わされることを思い出してみてください。
2つの分数の掛け算は、1つ目の分数と2つ目の分数の分子の積と分母の積を求めることを伴います。
また、有理数式の乗算は、分子と分母をまず因数分解して相殺し、残りの因数を乗算することによって行うことができます。
例題1
3/5y * 4/3y
解答
分子と分母を別々に掛け合わせる。
3/5y * 4/3y = (3 * 4)/ (5y * 3y)
= 12/15y 2
3 で打ち消し分数を減らす。
12/15y 2 = 4/5y2
例2
{(12x – 4x 2)/ (x 2 + x -12)} を掛け合わせましょう。 * {(x 2 + 2x -8)/(x 3-4x)}
解答
各式の分子と分母の両方を因数分解する。
= {- 4x (x – 3)/(x-3) (x + 4)}
解答
各式の分母の両方を因子分解する。 * {(x – 2) (x + 4)/x (x + 2) (x – 2)}
式を減らすか消して、残った分数を書き直します；
= -4/ x + 2
例3
(x 2 – 3x – 4/x 2 -x 2) * (x 2 – 4/ x2 + x – 20) を掛け算します。
解答
すべての式の分子と分母を因数分解し、
= (x – 4) (x + 1)/ (x + 1) (x – 2) * (x + 2) (x – 2)/ (x – 4) (x + 5)
残りの因数をキャンセルして書き直せばいいのです。
= x + 2/ x + 5
例題4
乗算
(9 – x 2/x 2 + 6x + 9) * (3x + 9/3x – 9)
解答
分子と分母の因数を求め共通因子を打ち消す。
= -1(x + 3) (x – 3)/ (x + 3)2 * 3(x + 3)/3(x – 30
= -1
例5
簡便にします。 (x2+5x+4) * (x+5)/(x2-1)
解答
分子と分母を因数分解すると、以下のようになります。
=>(x+1) (x+4) (x+5)/(x+1) (x-1)
共通項をキャンセルすると、
=>(x+4) (x+5)/x-1
例6
((x + 5) / (x – 4))) と掛け算をする。 * (x / x + 1)
解答
= ((x + 5) * x) / ((x – 4) * (x + 1))
= (x2 + 5x) / (x2 – 4x + x – 4)
= (x2 + 5x) / (x2 – 3x- 4)
整数に代数式をかける場合は、式の分子に数値をかけるだけである。
これは、整数の分母が常に1であるためで、式と整数の掛け算のルールは変わりません。
以下の例7を考えてみましょう。 * x
解答
= ((x + 5) / (x2 – 4))) * x / 1
= (x + 5) * x / (x2 – 4) × 1
= (x2 + 5x) / (x2 – 4)
練習問題
次の有理式を簡単にしてください
解答