単項式 | PFCONA

多項式が不定形を1つだけ持つ場合（単変数多項式）、項は通常、最高位から最低位へ（「降冪」）または最低位から最高位へ（「昇冪」）のいずれかで表記されます。ここで

cn ≠ 0, cn-1, …, c2, c1, c0

は定数で、多項式の係数を表わします。

ここで項cnxnを先行項、その係数cnを先行係数と呼び、先行係数が1であれば一変量多項式は単項式と呼ばれる。

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多項式解法編
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IrreduciblityEdit

ExamplesEdit

Complex quadratic polynomials

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Multiplicatively closedEdit

(over a given (unary) ring A and for a given variable x) all monic polynomials set is closed under multiplication, since the product of leading terms of two monic polynomials is the leading term of their product.（（2つの単項式多項式間の）項の積は、積の項となる）。実際、定数多項式1は単項式なので、この半群は単項式でさえある。

Partially orderedEdit

すべての単項式（与えられた環上の）の集合に対する可分関係の制限は部分順序であり、したがってこの集合をposetにする。これは2つの単項式pとqに対してp(x) divides q(x) and q(x) divides p(x) ならば、pとqは等しくなければならないからである。

多項式解法編

その他の点では、単項式とそれに対応する単項式方程式の性質は、係数環Aに決定的に依存します。Aを場とすると、すべての非零多項式pは、その先頭係数で割ったpというちょうど一つの単項式qと関連します。例えば、一般的な実数2次方程式

a x 2 + b x + c = 0 { {displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0} は、次のように表される。

$** ax^{2}+bx+c=0$

(where a ≠ 0 {displaystyle a} 0

$a} 0$

)

may is replaced by

x 2 + p x + q = 0 {displaystyle \ x^{2}+px+q=0} … 続きを読む

$\ x^{2}+px+q=0$

by substituting p = b/a and q = c/a. したがって、方程式

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {displaystyle 2x^{2}+3x+1=0} が成り立ちます。

$2x^{2}+3x+1=0$

はモニック方程式

x 2 + 3 2 x + 1 2 = 0と等価です{displaystyle x^{2}+{cfrac {3}{2}}x+{cfrac {1}{2}}=0.}.

$x^{2}+{{frac {3}{2}}x+{frac {1}{2}}=0.$

次に一般2次解公式は、少し簡略化して

x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) の形となる． {x={frac {1}{2}}left(-p}pm {sqrt {p^{2}-4q}}}right).} .

$x={pfrac {1}{2}}}left(-ppm {}sqrt {p^{2}-4q}}right).$

IntegralityEdit

一方、係数環がフィールドではない場合、より本質的に異なる点があります。例えば、係数が整数の単項式方程式は整数でない有理解を持つことができない。したがって、方程式

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {displaystyle \ 2x^{2}+3x+1=0} は、2x^{2}+3x+1=0となる。

$\ 2x^{2}+3x+1=0$

possibly may have some rational root, which is not an integer, (and incidentally one of its roots is -1/2); 一方方程式

x 2 + 5 x + 6 = 0 {theatdisplaystyle \ x^{2}+5x+6=0} は、intelligence(intelligence)と呼ばれ、整数ではない根を持ちます。

$\ x^{2}+5x+6=0$

and

x 2 + 7 x + 8 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+7x+8=0}.

$\ x^{2}+7x+8=0$

は整数解か無理解しか持たない。

係数が整数のモニック多項式の根は代数的整数と呼ばれる。

整数領域上のモニック多項方程式の解は整数拡張と整数閉域の理論、したがって代数的整数論にとって重要である。一般にAは積分領域であり、また積分領域Bの部分環であるとする。A上の単項多項式方程式を満たすBの要素からなるBの部分集合Cを考える：

C := { b∈B : ∃ p ( x ) ∈ A , which is monic and such that p ( b ) = 0 }. . {B:\ist in A,,{hbox{ which is monic and such that }}p(b)=0},.} ←クリックすると拡大します。

$C:=3{bin B:\exists \,p(x)\in A,,{hbox{ which is monic and such that }}p(b)=0},.$

任意のa∈A が方程式x – a=0を満たすので、集合CにはAが含まれ、しかもCが加算と乗算で閉じていることを証明することが可能である。 BがAの分数場である場合、CはBにおけるAの環、または単にAの積分閉環と呼ばれ、Cの要素はA上で積分されるという。ここでA=Z {displaystyle A=mathbb {Z} とすると }

$A=mathbb {Z}とする。$

(整数環) と B = C {displaystyle B=mathbb {C}} の場合 }

$B=mathbb {C}のページです。$

(複素数の場)であれば、Cは代数的整数の環である。

IrreduciblityEdit

pが素数のとき、有限体G F ( p ) {displaystyle \mathrm {GF} 上の次数nの単項式既約多項式の個数。 (p)}

${displaystyle \mathrm {GF}}. (p)}$

がp個の要素を持つ場合、ネックレスカウント関数N p ( n ) {displaystyle N_{p}(n)} と等しくなる。

${displaystyle N_{p}(n)}$

のようになります。

モニックであるという制約を取り除くと、この数は ( p – 1 ) N p ( n ) {\displaystyle (p-1)N_{p}(n)} となる。

${displaystyle (p-1)N_{p}(n)}$