Serie del Premio del Millennio: I Millennium Prize Problems sono sette problemi matematici posti dal Clay Mathematics Institute nel 2000. Non sono facili – la soluzione corretta di uno qualsiasi comporta l’assegnazione di un premio di 1.000.000 di dollari da parte dell’istituto.

Il matematico russo Grigori Perelman ha ricevuto il premio il 18 marzo scorso per aver risolto uno dei problemi, la congettura di Poincaré – finora l’unico problema risolto. Famosamente, ha rifiutato il Millennium Prize da 1.000.000 di dollari.

Nelle prossime settimane, ognuno di questi problemi sarà illuminato da esperti delle istituzioni membri dell’Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI).

Qui il professor Arun Ram spiega la Congettura di Hodge. Enjoy.

Se si dividesse grossolanamente la matematica in due parti sarebbero: strumenti per la misurazione e strumenti per il riconoscimento.

Per usare un’analogia, gli strumenti per la misurazione sono le tecnologie per raccogliere dati su un oggetto, il processo di “fare una fotografia sfocata”. Gli strumenti per il riconoscimento si occupano di quanto segue: se si dà un mucchio di dati o una fotografia sfocata, come si può riconoscere l’oggetto da cui proviene dai dati?

La Congettura di Hodge – un importante problema irrisolto nella geometria algebrica – si occupa del riconoscimento.

William Vallance Douglas Hodge era un professore di Cambridge che, negli anni ’40, ha lavorato allo sviluppo di una versione raffinata della cohomologia – strumenti per misurare il flusso e il flusso attraverso i confini delle superfici (per esempio, il flusso dei fluidi attraverso le membrane).

Le versioni classiche della cohomologia sono usate per la comprensione del flusso e della dispersione dell’elettricità e del magnetismo (per esempio, le equazioni di Maxwell, che descrivono come le cariche e le correnti elettriche agiscono come origine dei campi elettrici e magnetici). Questi sono stati raffinati da Hodge in quella che è ora chiamata la “decomposizione di Hodge della cohomologia”.

Hodge riconobbe che le misure effettive del flusso attraverso le regioni contribuiscono sempre a una parte particolare della decomposizione di Hodge, conosciuta come la parte (p,p). Ha ipotizzato che ogni volta che i dati mostrano un contributo alla parte (p,p) della decomposizione di Hodge, le misure potrebbero provenire da uno scenario realistico di un sistema di flusso e cambiamento attraverso una regione.

O, per metterlo in analogia, si potrebbe dire che Hodge ha trovato un criterio per testare i dati fraudolenti.

Se il test di Hodge risulta positivo, si può essere sicuri che i dati sono fraudolenti. La questione nella congettura di Hodge è se ci sono dati fraudolenti che il test di Hodge non rileverà. Finora, il test di Hodge sembra funzionare.

Ma non abbiamo capito abbastanza bene perché funziona, e quindi è aperta la possibilità che ci possa essere un modo per aggirare lo schema di sicurezza di Hodge.

Hodge ha fatto la sua congettura nel 1950, e molti dei leader nello sviluppo della geometria hanno lavorato su questo problema fondamentale di riconoscimento. Il problema stesso ha stimolato molte altre tecniche raffinate per misurare il flusso e la dispersione.

La congettura di Tate del 1963 è un altro problema di riconoscimento simile che nasce da un’altra tecnica di misurazione, la coomologia l-adica sviluppata da Alexander Grothendieck.

La prova più forte a favore della congettura di Hodge è un risultato del 1995 di Cattani, Deligne & Kaplan che studia come la decomposizione di Hodge si comporta quando una regione muta.

Le misure classiche di cohomologia non sono influenzate da piccole mutazioni, ma la decomposizione di Hodge registra le mutazioni. Lo studio della decomposizione di Hodge attraverso le mutazioni fornisce una grande comprensione degli schemi nei dati che devono verificarsi nelle misure reali.

Negli anni ’60, Grothendieck iniziò una potente teoria che generalizzava il solito concetto di “regione” per includere “regioni virtuali” (la teoria dei motivi su cui si potevano misurare “temperature virtuali” e “campi magnetici virtuali”.

In un senso vago, la teoria dei motivi sta cercando di attaccare il problema cercando di pensare come un hacker. Le “Congetture standard” di Grothendieck sono ampie generalizzazioni della congettura di Hodge, che cercano di spiegare quali regioni virtuali sono indistinguibili dagli scenari realistici.

La questione della congettura di Hodge ha stimolato lo sviluppo di strumenti e tecniche rivoluzionari per la misurazione e l’analisi dei dati attraverso le regioni. Questi strumenti sono stati, e continuano ad essere, fondamentali per lo sviluppo moderno.

Immaginate di provare a costruire un telefono cellulare senza la comprensione di come misurare, analizzare e controllare l’elettricità e il magnetismo. In alternativa, immaginate di cercare di sostenere un ambiente senza un modo per misurare, analizzare e rilevare la diffusione delle tossine attraverso le regioni e nei corsi d’acqua.

Ovviamente, l’allettante intrigo intorno ai problemi di riconoscimento e rilevamento li rende entusiasmanti. Le grandi menti sono attratte e producono grandi progressi nel tentativo di capire cosa fa funzionare il tutto.

Si potrebbe, molto ragionevolmente, sostenere che più a lungo la congettura di Hodge rimane un problema irrisolto, più bene farà all’umanità, guidando tecniche sempre più raffinate di misurazione e analisi e stimolando lo sviluppo di metodi sempre migliori per il riconoscimento di oggetti dai dati.

Il Clay Mathematics Institute è stato saggio nell’individuare la congettura di Hodge come un problema che ha la capacità di stimolare un ampio sviluppo di nuovi metodi e tecnologie e nell’includerlo come uno dei problemi del Millennio.

Questa è la seconda parte della serie del Premio del Millennio. Per leggere le altre puntate, segui i link qui sotto.

• Parte prima: Premio del millennio: il problema di esistenza e unicità di Navier-Stokes
• Parte terza: Premio del millennio: P contro NP