Si un polynôme n’a qu’une seule indétermination (polynôme univarié), alors les termes sont généralement écrits soit du plus haut degré au plus bas degré (« puissances descendantes »), soit du plus bas degré au plus haut degré (« puissances ascendantes »). Un polynôme univarié en x de degré n prend alors la forme générale affichée ci-dessus, où

cn ≠ 0, cn-1, …, c2, c1 et c0

sont des constantes, les coefficients du polynôme.

On appelle ici le terme cnxn le terme principal, et son coefficient cn le coefficient principal ; si le coefficient principal est égal à 1, le polynôme univarié est dit monique.

ExemplesEdit

• Polynômes quadratiques complexes

PropriétésEdit

Fermé par multiplicationEdit

L’ensemble de tous les polynômes moniques (sur un anneau (unitaire) donné A et pour une variable x donnée) est fermé par multiplication, puisque le produit des termes principaux de deux polynômes moniques est le terme principal de leur produit. Ainsi, les polynômes moniques forment un semigroupe multiplicatif de l’anneau de polynômes A. En fait, puisque le polynôme constant 1 est monique, ce semigroupe est même un monoïde.

Partiellement ordonnéModifié

La restriction de la relation de divisibilité à l’ensemble de tous les polynômes moniques (sur l’anneau donné) est un ordre partiel, et fait donc de cet ensemble un poset. La raison est que si p(x) divise q(x) et q(x) divise p(x) pour deux polynômes moniques p et q, alors p et q doivent être égaux. La propriété correspondante n’est pas vraie pour les polynômes en général, si l’anneau contient des éléments inversibles autres que 1.

Solutions d’équations polynomialesEdit

À d’autres égards, les propriétés des polynômes moniques et de leurs équations polynomiales moniques correspondantes dépendent de façon cruciale de l’anneau de coefficients A. Si A est un corps, alors tout polynôme non nul p a exactement un polynôme monique q associé : p divisé par son coefficient principal. Ainsi, toute équation polynomiale non triviale p(x) = 0 peut être remplacée par une équation monique équivalente q(x) = 0. Par exemple, l’équation réelle générale du second degré

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}

(où a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}

)

peut être remplacée par

x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle \ x^{2}+px+q=0}

,

en substituant p = b/a et q = c/a. Ainsi, l’équation

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}

est équivalente à l’équation monique

x 2 + 3 2 x + 1 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0.}

La formule générale de solution quadratique est alors la forme légèrement plus simplifiée de:

x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) . {\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right).}

IntegralityEdit

En revanche, si le cercle des coefficients n’est pas un champ, il existe des différences plus essentielles. Par exemple, une équation polynomiale monique à coefficients entiers ne peut pas avoir de solutions rationnelles qui ne sont pas des entiers. Ainsi, l’équation

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle \ 2x^{2}+3x+1=0}

pourrait éventuellement avoir une certaine racine rationnelle, qui n’est pas un entier, (et incidemment une de ses racines est -1/2) ; tandis que les équations

x 2 + 5 x + 6 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+5x+6=0}

et

x 2 + 7 x + 8 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+7x+8=0}

ne peuvent avoir que des solutions entières ou des solutions irrationnelles.

Les racines des polynômes moniques à coefficients entiers sont appelées entiers algébriques.

Les solutions des équations polynomiales moniques sur un domaine intégral sont importantes dans la théorie des extensions intégrales et des domaines intégralement fermés, et donc pour la théorie algébrique des nombres. En général, supposons que A est un domaine intégral, et aussi un sous-anneau du domaine intégral B. Considérons le sous-ensemble C de B, constitué des éléments de B, qui satisfont les équations polynomiales moniques sur A :

C := { b ∈ B : ∃ p ( x ) ∈ A , qui est monique et tel que p ( b ) = 0 } . . {\displaystyle C:=\{b\in B:\existe \,p(x)\in A\,,{\hbox{qui est monique et tel que }}p(b)=0\}\,.}

L’ensemble C contient A, puisque tout a ∈ A satisfait l’équation x – a = 0. De plus, il est possible de prouver que C est fermé sous l’addition et la multiplication. Ainsi, C est un sous-anneau de B. L’anneau C est appelé l’anneau de A dans B ; ou simplement la fermeture intégrale de A, si B est le champ de fraction de A ; et les éléments de C sont dits intégraux sur A. Si ici A = Z {\displaystyle A=\mathbb {Z} }

(l’anneau des entiers) et B = C {\displaystyle B=\mathbb {C} }

(le champ des nombres complexes), alors C est l’anneau des entiers algébriques.

IrréductibilitéEdit

Si p est un nombre premier, le nombre de polynômes moniques irréductibles de degré n sur un corps fini G F ( p ) {\displaystyle \mathrm {GF} (p)}

avec p éléments est égale à la fonction de comptage de colliers N p ( n ) {\displaystyle N_{p}(n)}

.

Si on supprime la contrainte d’être monique, ce nombre devient ( p – 1 ) N p ( n ) {\displaystyle (p-1)N_{p}(n)}.