Paul Cohen (1934-2007)
Paul Cohen faisait partie d’une nouvelle génération de mathématiciens américains inspirés par l’afflux d’exilés européens pendant les années de guerre. Lui-même était un immigrant juif de deuxième génération, mais il était d’une intelligence redoutable et extrêmement ambitieux. Grâce à son intelligence et à sa volonté, il est parvenu à acquérir la célébrité, la richesse et les plus grands prix de mathématiques.
Il a fait ses études à New York, Brooklyn et à l’Université de Chicago, avant d’accéder à une chaire de professeur à l’Université de Stanford. Il a ensuite remporté la prestigieuse médaille Fields en mathématiques, ainsi que la médaille nationale des sciences et le prix commémoratif Bôcher en analyse mathématique. Ses intérêts mathématiques étaient très larges, allant de l’analyse mathématique et des équations différentielles à la logique mathématique et à la théorie des nombres.
Au début des années 1960, il s’est appliqué avec sérieux à la première des 23 listes de problèmes ouverts de Hilbert, l’hypothèse du continuum de Cantor, à savoir s’il existe ou non un ensemble de nombres plus grand que l’ensemble de tous les nombres naturels (ou entiers) mais plus petit que l’ensemble des nombres réels (ou décimaux). Cantor était convaincu que la réponse était « non » mais n’a pas pu le prouver de manière satisfaisante, et personne d’autre ne s’est appliqué à ce problème depuis.
Une des plusieurs formulations alternatives des axiomes de Zermelo-Fraenkel et de l’axiome du choix
Des progrès avaient été réalisés depuis Cantor. Entre 1908 et 1922 environ, Ernst Zermelo et Abraham Fraenkel ont développé la forme standard de la théorie axiomatique des ensembles, qui allait devenir le fondement le plus courant des mathématiques, connue sous le nom de théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF, ou, modifiée par l’Axiome du choix, sous le nom de ZFC).
Kurt Gödel a démontré en 1940 que l’hypothèse du continuum est cohérente avec la ZF, et que l’hypothèse du continuum ne peut être réfutée à partir de la théorie standard des ensembles de Zermelo-Fraenkel, même si l’axiome du choix est adopté. La tâche de Cohen, alors, était de montrer que l’hypothèse du continuum était indépendante de la ZFC (ou non), et spécifiquement de prouver l’indépendance de l’axiome du choix.
Technique de forçage
La conclusion extraordinaire et audacieuse de Cohen, à laquelle il arriva en utilisant une nouvelle technique qu’il développa lui-même, appelée « forçage », était que les deux réponses pouvaient être vraies, c’est-à-dire que l’hypothèse du continuum et l’axiome du choix étaient complètement indépendants de la théorie des ensembles ZF. Ainsi, il pouvait y avoir deux mathématiques différentes, cohérentes en interne : une où l’hypothèse du continuum était vraie (et où il n’existait pas d’ensemble de nombres), et une où l’hypothèse était fausse (et où un ensemble de nombres existait). La preuve semblait correcte, mais les méthodes de Cohen, en particulier sa nouvelle technique de « forçage », étaient si nouvelles que personne n’était vraiment sûr jusqu’à ce que Gödel donne finalement son approbation en 1963.
Ses résultats étaient aussi révolutionnaires que ceux de Gödel. Depuis lors, les mathématiciens ont construit deux mondes mathématiques différents, l’un dans lequel l’hypothèse du continu s’applique et l’autre dans lequel elle ne s’applique pas, et les preuves mathématiques modernes doivent insérer une déclaration indiquant si le résultat dépend ou non de l’hypothèse du continu.
La preuve de Cohen, qui a changé le paradigme, lui a apporté la célébrité, la richesse et des prix mathématiques à profusion, et il est devenu un professeur de premier plan à Stanford et Princeton. Fort de son succès, il décide de s’attaquer au Saint Graal des mathématiques modernes, le huitième problème de Hilbert, l’hypothèse de Riemann. Cependant, il finit par passer les 40 dernières années de sa vie, jusqu’à sa mort en 2007, sur ce problème, toujours sans résolution (bien que son approche ait donné un nouvel espoir à d’autres, y compris à son brillant étudiant, Peter Sarnak).
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