Idea

Une théorie de jauge peut désigner soit une théorie des champs classique, soit une théorie des champs quantique dont les configurations de champ sont des cocycles en cohomologie différentielle (abélienne ou non abélienne).

Théories de jauge ordinaires

Une théorie de jauge ordinaire est une théorie des champs quantique dont les configurations de champ sont des faisceaux de vecteurs avec connexion.

Ceci inclut notamment les champs qui portent les trois forces fondamentales du modèle standard de la physique des particules:

• L’électromagnétisme ordinaire en l’absence de charges magnétiques est une théorie de jauge des faisceaux U(1)U(1)-principaux avec connexion.

• Les champs de la théorie de Yang-Mills (tels qu’ils apparaissent dans le modèle standard de la physique des particules et dans les GUT) sont des faisceaux vectoriels avec connexion.

D’autres exemples incluent des modèles physiques formels.

• La théorie de Dijkgraaf-Witten est une théorie de jauge dont les configurations de champ sont des faisceaux GG-principaux pour GG un groupe fini (ceux-ci viennent avec une connexion unique, de sorte que dans ce cas simple la connexion n’est pas une donnée supplémentaire).

Le groupe GG dans ces exemples est appelé le groupe de jauge de la théorie.

Théories de jauge supérieures et généralisées

Les exemples ci-dessus de champs de jauge étaient constitués de cocycles en cohomologie différentielle de degré 11.

Plus généralement, une théorie de jauge supérieure est une théorie quantique des champs dont les configurations de champs sont des cocycles en cohomologie différentielle plus générale, par exemple des cocycles de Deligne de degré supérieur ou plus généralement des cocycles dans d’autres raffinements différentiels, comme en K-théorie différentielle.

Cette généralisation contient bien des physiques visibles expérimentalement comme

• Le courant magnétique en électromagnétisme est un gerbe de bundle avec connexion, un cocycle de Deligne raffinant un cocycle en cohomologie d’Eilenberg-MacLane de degré-33 : la charge magnétique .

Mais toute une tour de théories de jauge supérieures et généralisées est devenue visible avec l’étude des théories de supergravité supérieures,

• Le champ de Kalb-Ramond est un gerbe de faisceaux avec connexion, un cocycle de Deligne avec une forme de courbure 3.

• Le champ C de supergravité est un cocycle de Deligne avec une forme de courbure 4.

• Le champ RR est un cocycle en K-théorie différentielle.

La gravité comme (non-)théorie de jauge

Dans la formulation du premier ordre de la gravité, la théorie de la gravité ressemble aussi un peu à une théorie de jauge. Cependant, il y a une différence cruciale. Ce qui se passe réellement ici est la géométrie de Cartan : le champ de gravité peut être codé dans un champ vielbein, à savoir une structure orthogonale sur le faisceau tangent, donc comme un exemple de structure G, et la liberté de torsion de cette structure G peut être codée par une connexion auxiliaire, à savoir une connexion de Cartan, souvent appelée la « connexion d’épingle » dans ce contexte. Ainsi, alors que dans la formulation de la géométrie de Cartan, la gravité est décrite par de nombreux ingrédients de la géométrie différentielle qui régissent également la théorie de jauge pure, ce n’est pas tout à fait la même chose. En particulier, il y a une contrainte sur une connexion de Cartan, qui en termes de champs de vielbein est la contrainte que le vielbein (qui fait partie de la connexion de Cartan) est non-dégénéré, et donc vraiment une « forme de soudure ». Une telle contrainte est absente dans une théorie de jauge « authentique » telle que la théorie de Yang-Mills ou la théorie de Chern-Simons.

Propriétés

Non-redondance et localité

On voit parfois s’exprimer le point de vue selon lequel la symétrie de jauge est « juste une redondance » dans la description d’une théorie de la physique, par exemple en ce que parmi les observables, ce sont seulement les invariants de jauge qui sont physiquement significatifs.

Cette affirmation cependant

Anomalies

En présence de charge magnétique (et alors même en l’absence d’anomalies de fermions chiraux ?) la fonctionnelle d’action standard serait pour les théories de jauge supérieure peut être mal définie. Le mécanisme de Green-Schwarz est un phénomène célèbre en cohomologie différentielle par lequel une telle anomalie quantique s’annule contre celle donnée par les fermions chiraux.

Liste des champs de jauge et de leurs modèles

Ce qui suit tente de donner un aperçu d’une certaine collection de champs de jauge en physique, de leurs modèles par cohomologie différentielle et de détails supplémentaires.

• Chambre de Yang-Mills

  • cycle en cohomologie différentielle nonabélienne de plus bas degré

    • originairement réalisé en termes de ?ech cocycles

      F^âH(X,B¯G) \hat F \in \mathbf{H}(X, \bar \mathbf{B} G)

      avec des coefficients dans le groupoïde des formes évaluées en algèbre de Lie,

      alors traditionnellement en termes de faisceaux de vecteurs avec connexion

  • la force du champ dépendant du groupe GG nous avons

    • G=U(1)G = U(1) – électromagnétisme (voir ci-dessous)

    • G=SU(2)ÃU(1)G = SU(2)\times U(1) – champ de force électrofaible

    • G=SU(3)G = SU(3) – champ de force nucléaire fort

  • transport parallèle : Lignes de Wilson

• champ électromagnétique

  • cycle dans la cohomologie différentielle ordinaire de degré-22

    • naturellement/historiquement réalisé en termes de présentation de Maxwell-Dirac comme un cocycle dans le cocycle de ?echâDeligne
      F^âH(X,B¯U(1)) \hat F \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B} U(1))

  • de champ : le champ électrique EE et le champ magnétique BB, localement en un point xâXx \in X

    F=Eâ§dt+â 3B F = E \wedge d t + \star_3 B

  • sur X=â 3\{0}X = \mathbb{R}^3\backslash \{0\} : classe sous-jacente en cohomologie intégrale cl(F^)âH(X,BU(1))âH 2(X,â¤)cl(\hat F) \in H(X,\mathbf{B} U(1)) \simeq H^2(X,\mathbb{Z}) est la charge magnétique

  • transport parallèle : Interaction de jauge pièce de la fonctionnelle d’action de la 1-particule quantique chargée électriquement

• Champ de Kalb-Ramond

  • cycle en cohomologie différentielle ordinaire de degré-33

    • naturellement/historiquement réalisé en termes de

      • un cocycle en ?echâDeligne cocycle

        H^âH(X,B¯ 2U(1))\hat H \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}^2 U(1))

      • un gerbe de bundle avec connexion

  • force du champ : HâΩ 3(X)H \in \Omega^3(X) le âHH-fieldâ â â sur une D-brane c’est le courant magnétique pour le champ de Yang-Mills sur la brane

  • transport parallèle : interaction de jauge pièce d’action fonctionnelle de la 2-particule quantique chargée électriquement (la corde).

• champ C de supergravité

  • cycle en cohomologie différentielle ordinaire de degré-44

    • naturellement/historiquement réalisé en termes de comme un cocycle en ?echâDeligne cocycle

      H^âH(X,B¯ 3U(1)) \hat H \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}^3 U(1))

      en utilisant la formulation D’Auria-Fre de la supergravité, il peut également être pensé comme un cocycle différentiel non abélien donné par une â-connexion Cartan-Ehresmann

  • force du champ : HâΩ 4(X)H \in \Omega^4(X) le â champGGâ â en supergravité hétérotique c’est le courant magnétique de la 5-brane pour le champ de Kalb-Ramond torsadé

  • transport parallèle : interaction de jauge pièce d’action fonctionnelle de la 3-particule quantique chargée électriquement (la membrane).

• Champ RR

  • cycle en K-théorie différentielle

    • en présence d’un champ de Kalb-Ramond non trivial : cocycle en K-théorie différentielle torsadée

  • force du champ : Formes RR

• fibres en physique

• gauge

• groupe de jauge

• transformation de jauge, transformation de jauge supérieure

• complexe BRST, formalisme BV-BRST

• champ fantôme, champ fantôme de fantôme

• fixation de jauge, fermion de fixation de jauge, invariant de jauge

• théorie de jauge du treillis

• ambiguïté de Gribov

• théorie de jauge du quiver

• théorie de jauge supérieure U(1)

  • couplage de charge de fond électrique supérieur

• self-théorie de jauge supérieure duale

• théorie de jauge de spin supérieure

• anomalie quantique

  • Green-Schwarz

• théorie de l’infini de Chern-Simons

• théorie du champ libre

Général

Comptes rendus généraux de manuels :

• Mike Guidry, Gauge Field Theories : An Introduction with Applications, Wiley 2008 (ISBN:978-3-527-61736-4)

• Mikio Nakahara, Section 10.5 de : Géométrie, Topologie et Physique, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

Les bases sur les faisceaux de fibres en physique sont rappelées dans

• Adam Marsh, Gauge Theories and Fiber Bundles : Définitions, images et résultats (arXiv:1607.03089)

Une introduction aux concepts de la quantification des théories de jauge est dans

• Nicolai Reshitikhin, Lectures on quantization of gauge systems (pdf)

Un manuel standard sur le formalisme BV-BRST pour la quantification des systèmes de jauge est dans

• Marc Henneaux, Claudio Teitelboim, Quantization of Gauge Systems Princeton University Press, 1992

Des notes de cours complètes sur ce sujet se trouvent à

• géométrie de la physique â théorie quantique perturbative des champs.

Discussion de la théorie de jauge supérieure abélienne en termes de cohomologie différentielle est dans

• Dan Freed, quantification de la charge de Dirac et cohomologie différentielle généralisée

• Alessandro Valentino, Cohomologie différentielle et champs de jauge quantiques (pdf)

• José Figueroa-O’Farrill, Théorie de la jauge (page web)

• Tohru Eguchi, Peter Gilkey, Andrew Hanson, Gravitation, théories de jauge et géométrie différentielle, Rapports de physique 66 :6 (1980) 213â393 (pdf)

Pour une discussion dans le contexte de la gravité, voir aussi

• Edward Witten, Symétrie et émergence (arXiv:1710.01791)

En AQFT

La discussion standard de la théorie de jauge dans le contexte de la théorie algébrique quantique des champs (AQFT) comprend

• Franco Strocchi, section 4 de Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, Found.Phys. 34 (2004) 501-527 (arXiv :hep-th/0401143)

Pour l’AQFT sur les espaces-temps courbes, les axiomes de l’AQFT doivent être promus à un contexte de géométrie supérieure, à moins que la localité ne soit brisée, voir les expositions à

• Higher field bundles for gauge fields

• Alexander Schenkel, On the problem of gauge theories

  in locally covariant QFT_, exposé à Operator and Geometric Analysis on Quantum Theory Trento, 2014 (web)

Cela a été établi dans

• Marco Benini, Claudio Dappiaggi, Alexander Schenkel, Quantized Abelian principal connections on Lorentzian manifolds, Communications in Mathematical Physics 2013 (arXiv :1303.2515)

et le programme d’amélioration des axiomes de l’AQFT sur les espaces courbes au contexte stacky afin d’accueillir la théorie de jauge comprend les articles suivants:

• Marco Benini, Alexander Schenkel, Richard Szabo, Homotopy colimits and global observables in Abelian gauge theory (arXiv:1503.08839)

• Marco Benini, Alexander Schenkel, Théories quantiques des champs sur les catégories fibrées en groupoïdes (arXiv:1610.06071)

• Marco Benini, Alexander Schenkel, Urs Schreiber, La pile des champs de Yang-Mills sur les collecteurs lorentziens (arXiv:1704.01378)

Dualités

Une exposition de la relation à la dualité géométrique de Langlands est dans

• Edward Frenkel, Théorie de la jauge et dualité de Langlands (pdf)

Histoire

Une discussion de la âgaugeâ et de la transformation de la jauge en métaphysique est dans

• Georg Hegel, §714 de la Science de la Logique, 1812

L’argument historique de Hermann Weylâ motivant la théorie de la jauge en physique à partir du changement d’échelle des unités de longueur a été donné en 1918 dans

• Hermann Weyl, Raum, Zeit, Materie : Vorlesungen über die Allgemeine Relativitätstheorie, Springer Berlin Heidelberg 1923

  Le manuscrit du premier livre de Weylâ sur la physique mathématique, Space â Time â Matter (STM) (Raum â Zeit â Materie), remis à la maison d’édition (Springer) à Pâques 1918, ne contenait pas la nouvelle géométrie de Weylâ et la proposition d’une UFT. Il a été préparé à partir des notes de cours d’un cours donné au semestre d’été 1917 à l’Institut Polytechnique (ETH) de Zürich. Weyl n’a inclus ses récentes découvertes que dans la 3ème édition (1919) du livre. Les versions anglaise et française (Weyl 1922b, Weyl 1922a), traduites de la quatrième édition révisée (1921), contenaient une courte exposition de la métrique généralisée de Weyl et l’idée d’une théorie de jauge d’échelle de l’électromagnétisme. (Scholz)

Voir

• Erhard Scholz, H. Weylâs et E. Les propositions de Cartan pour la géométrie infinitésimale au début des années 1920 (pdf)

Des enquêtes précoces comprennent

• John Iliopoulos, Progress in Gauge Theories, 1975 (spire :3000)

Des revues rapides comprennent

• Quigley, On the origins of gauge theory (pdf)

• Afriat, Weylâs gauge argument (pdf)

Des comptes rendus historiques plus complets comprennent

• Lochlainn O’Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press (1997)

• Lochlainn O’Raifeartaigh, Norbert Straumann, Gauge Theory : Origines historiques et quelques développements modernes Rev. Mod. Phys. 72, 1-23 (2000).

• Norbert Straumann, Early History of Gauge Theories and Weak Interactions (arXiv:hep-ph/9609230)

• Norbert Straumann, Gauge principle and QED, talk at PHOTON2005, Warsaw (2005) (arXiv:hep-ph/0509116)

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