Idea

Dr. von Neumann, ich möchte gerne wissen, was ist denn eigentlich ein Hilbertscher Raum ? 1

Un espace de Hilbert est une généralisation (éventuellement) à dimension infinie des espaces traditionnels de la géométrie euclidienne dans laquelle les notions de distance et d’angle ont encore un sens. Cela se fait par une opération algébrique, le produit interne, qui généralise le produit scalaire.

Les espaces de Hilbert ont été rendus célèbres au grand public par leurs applications à la physique, où ils organisent les états purs des systèmes quantiques.

Les espaces de Hilbert forment une catégorie, Hilb.

Voir aussi

• un traitement élémentaire des espaces de Hilbert.

Définitions

Laissez VV être un espace vectoriel sur le champ des nombres complexes. (On peut généraliser quelque peu le choix du champ.) Un produit interne (au sens le plus général, éventuellement indéfini) sur VV est une fonction

qui est (1â3) sesquilinéaire et (4) conjugué-symétrique ; c’est-à-dire :

1. â¨0,xâ©=0 \langle 0, x \rangle = 0 et â¨x,0â©=0 \langle x, 0 \rangle = 0 ;
2. â¨x+y,zâ©=â¨x,zâ©+â¨y,zâ© \langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle et â¨x,y+zâ©=â¨x,yâ©+â¨x,zâ© \langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle ;
3. â¨cx,yâ©=c¯â¨x,yâ© \langle c x, y \rangle = \bar{c} \langle x, y \rangle et â¨x,cyâ©=câ¨x,yâ© \langle x, c y \rangle = c \langle x, y \rangle ;
4. â¨x,yâ©=â¨y,xâ©Â¯ \langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle} .

Nous utilisons ici la convention du physicien selon laquelle le produit interne est conjugué-linéaire dans la première variable plutôt que dans la seconde, plutôt que la convention du mathématicien, qui est l’inverse. La convention du physicien s’adapte un peu mieux aux espaces de 22-Hilbert. Notez que nous utilisons le même champ comme valeurs du produit interne que pour les scalaires ; la conjugaison complexe ne sera pas pertinente pour certains choix de champ.

La liste d’axiomes ci-dessus est plutôt redondante. Tout d’abord, (1) découle de (3) en fixant c=0c = 0 ; en outre, (1â3) viennent par paires, dont une seule est nécessaire, puisque chaque moitié découle de l’autre en utilisant (4). Il est même possible de dériver (3) de (2) en supposant que VV est un espace vectoriel topologique et que le produit interne est continu (ce qui, comme nous le verrons, est de toute façon toujours vrai pour un espace de Hilbert).

Le prochain concept à définir est la (semi)définition. On définit une fonction âââ 2:Vââ\|{-}\|^2 : V \to \mathbb{C} par âxâ 2=â¨x,xâ©\|x\|^2 = \langle x, x \rangle ; en fait, âââ 2\|{-}\|^2 ne prend que des valeurs réelles, par (4). * Le produit interne est semi-défini positif, ou simplement positif, si âxâ 2â¥0\|x\|^2 \geq 0 toujours. * Remarquez que (par 1), âxâ 2=0\|x\|^2 = 0 si x=0x = 0 ; le produit interne est défini si l’inverse est vrai. * Un produit interne est défini positif s’il est à la fois positif et défini. * Par ailleurs, il existe également des produits internes (semi-)définis négatifs, qui sont légèrement moins pratiques mais pas vraiment différents. Un produit interne est indéfini si certains âxâ 2\|x\|^2 sont positifs et d’autres négatifs ; ceux-ci ont une saveur très différente.

Le produit interne est complet si, étant donné toute séquence infinie (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) telle que

il existe une somme SS (nécessairement unique) telle que

Si le produit interne est défini, alors cette somme, si elle existe, doit être unique, et on écrit

(avec le côté droit indéfini si une telle somme n’existe pas).

Alors un espace de Hilbert est simplement un espace vectoriel équipé d’un produit interne défini positif complet.

Espaces de Hilbert comme espaces de Banach

Si un produit interne est positif, alors on peut prendre la racine carrée principale de âxâ 2=â¨x,xâ©\|x\|^2 = \langle x, x \rangle pour obtenir le nombre réel âxâ\|x\|, la norme de xx.

Cette norme satisfait à toutes les exigences d’un espace de Banach. Elle satisfait en outre la loi du parallélogramme

que tous les espaces de Banach ne doivent pas nécessairement satisfaire. (Le nom de cette loi vient de son interprétation géométrique : les normes du côté gauche sont les longueurs des diagonales d’un parallélogramme, tandis que les normes du côté droit sont les longueurs des côtés.)

De plus, tout espace de Banach satsifiant la loi du parallélogramme possède un produit interne unique qui reproduit la norme, défini par

ou 12(âx+yâ 2âxâyâ 2)\frac{1}{2}(\|x + y\|^2 – \|x – y\|^2) dans le cas réel.

Il est donc possible de définir un espace de Hilbert comme un espace de Banach qui satisfait la loi du parallélogramme. Cela fonctionne en fait un peu plus généralement ; un espace de produit interne semi-défini positif est un espace vectoriel pseudo-normé qui satisfait à la loi du parallélogramme. (Nous ne pouvons cependant pas récupérer un produit interne indéfini à partir d’une norme.)

Espaces de Hilbert comme espaces métriques

Dans tout espace à produit interne semi-défini positif, que la distance d(x,y)d(x,y) soit

Alors dd est une pseudométrique ; c’est une métrique complète si et seulement si on a un espace de Hilbert.

En fait, les axiomes d’un espace de Banach (ou d’un espace vectoriel pseudo-normé) peuvent être écrits entièrement en termes de métrique ; on peut aussi énoncer la loi du parallélogramme comme suit :

Dans les définitions, il est probablement plus courant de voir la métrique introduite uniquement pour énoncer l’exigence de complétude. En effet, (1) dit que la suite des sommes partielles est une suite de Cauchy, tandis que (2) dit que la suite des sommes partielles converge vers SS.

Espaces de Hilbert comme espaces conformes

Donné deux vecteurs xx et yy, tous deux non nuls, que l’angle entre eux soit l’angle θ(x,y)\theta(x,y) dont le cosinus est

(Notez que cet angle peut être imaginaire en général, mais pas pour un espace de Hilbert sur â\mathbb{R}.)

Un espace de Hilbert ne peut cependant pas être reconstruit entièrement à partir de ses angles (même en donnant l’espace vectoriel sous-jacent). Le produit interne ne peut être récupéré que jusqu’à un facteur d’échelle positif.

Morphismes des espaces de Hilbert

Voir la discussion à l’espace de Banach. Il y a plus à dire ici concernant les duaux (notamment pourquoi la théorie des espaces de Hilbert est légèrement plus agréable sur â\mathbb{C} alors que celle des espaces de Banach est légèrement plus agréable sur â\mathbb{R}).

Exemples

Espaces de Banach

Tous les exemples pp-paramétrés à l’espace de Banach s’appliquent si on prend p=2p = 2.

En particulier, l’espace vectoriel à nn dimensions â n\mathbb{C}^n est un espace de Hilbert complexe avec

Tout sous-champ KK de â\mathbb{C} donne un espace de produit interne défini positif K nK^n dont la complétion est soit â n\mathbb{R}^n soit â n\mathbb{C}^n. En particulier, l’espace cartésien â n\mathbb{R}^n est un espace de Hilbert réel ; les notions géométriques de distance et d’angle définies ci-dessus s’accordent avec la géométrie euclidienne ordinaire pour cet exemple.

Des fonctions de Lebesgue intégrables au carré sur un collecteur

Les espaces de Hilbert L 2(â)L^2(\mathbb{R}), L 2()L^2(), L 2(â 3)L^2(\mathbb{R}^3), etc (réels ou complexes) sont très bien connus. En général, L 2(X)L^2(X) pour XX un espace de mesure est constitué des fonctions ff définies presque partout de XX au champ scalaire (â\mathbb{R} ou â\mathbb{C}) telles que â »|f| 2 \int |f|^2 converge vers un nombre fini, les fonctions étant identifiées si elles sont égales presque partout ; on a â¨f,gâ©=â « f¯g\langle f, g\rangle = \int \bar{f} g, qui converge par l’inégalité de CauchyâSchwarz. Dans les cas particuliers cités (et en général, lorsque XX est un espace de Hausdorff localement compact), on peut aussi obtenir cet espace en complétant l’espace du produit interne défini positif des fonctions continues à support compact.

Des demi-densités intégrables au carré

• Espace de Hilbert canonique des demi-densités

Propriétés

Bases

Un résultat fondamental est qu’abstraitement, les espaces de Hilbert sont tous du même type : chaque espace de Hilbert HH admet une base orthonormale, c’est-à-dire un sous-ensemble SâHS \subseteq H dont la carte d’inclusion s’étend (nécessairement de manière unique) à un isomorphisme

d’espaces de Hilbert. Ici l 2(S)l^2(S) est l’espace vectoriel constitué des fonctions xx de SS au champ scalaire telles que

convertit en un nombre fini ; on peut aussi l’obtenir en complétant l’espace vectoriel des combinaisons linéaires formelles des éléments de SS par un produit interne déterminé de façon unique par la règle

dans laquelle Î’ uv\delta_{u v} désigne le delta de Kronecker. On a donc, dans l 2(S)l^2(S),

(Cette somme converge par l’inégalité de CauchyâSchwarz.)

En général, ce résultat utilise l’axiome du choix (habituellement sous la forme du lemme de Zorn et du milieu exclu) dans sa preuve, et lui est équivalent. Cependant, le résultat pour les espaces de Hilbert séparables ne nécessite qu’un choix dépendant et est donc constructif selon les normes de la plupart des écoles. Même sans choix dépendant, des bases orthornormales explicites pour des L 2(X)L^2(X) particuliers peuvent souvent être produites en utilisant des techniques d’approximation de l’identité, souvent de concert avec un processus de Gram-Schmidt.

En particulier, tous les espaces de Hilbert séparables à dimension infinie sont abstraitement isomorphes à l 2(â)l^2(\mathbb{N}).

Inégalité de CauchyâSchwarz

L’inégalité de Schwarz (ou inégalité de CauchyâÐÑнÑковÑкийâSchwarz, etc) est très pratique :

Il s’agit en fait de deux théorèmes (au moins) : un théorème abstrait selon lequel l’inégalité est valable dans tout espace de Hilbert, et des théorèmes concrets selon lesquels elle est valable lorsque le produit interne et la norme sont définis par les formules utilisées dans les exemples L 2(X)L^2(X) et l 2(S)l^2(S) ci-dessus. Les théorèmes concrets s’appliquent même aux fonctions qui n’appartiennent pas à l’espace de Hilbert et prouvent donc que le produit interne converge lorsque les normes convergent. (Un résultat un peu plus fort est nécessaire pour conclure cette convergence de manière constructive ; on peut le trouver dans le livre d’Errett Bishop.)

• Espace de Hilbert ordonné

• Module de Hilbert C-star, Bimodule de Hilbert

• Espace vectoriel de Kähler

Les comptes rendus standards des espaces de Hilbert en mécanique quantique comprennent

• John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.

  (allemand) Fondements mathématiques de la mécanique quantique. Berlin, Allemagne : Springer Verlag, 1932.

• George Mackey, Les fondements mathématiques de la mécanique quantique A

  Lecture-note Volume, ser. La série des monographies de physique mathématique. Princeton university, 1963

• E. PrugoveÄki, La mécanique quantique dans l’espace de Hilbert. Academic Press, 1971.