L’opération des expressions rationnelles peut sembler difficile à quelques élèves, mais les règles de multiplication d’expressions sont exactement les mêmes avec les entiers. En mathématiques, un nombre rationnel est défini comme un nombre qui est sous la forme p/q, où p et q sont des entiers et q n’est pas égal à zéro.

Des exemples de nombres rationnels sont : 2/3, 5/8, -3/14, -11/-5, 7/-9, 7/-15 et -6/-11 etc.

Une expression algébrique est une phrase mathématique où les variables et les constantes sont combinées en utilisant les symboles opérationnels (+, -, × & ÷).

Par exemple, 10x + 63 et 5x – 3 sont des exemples d’expressions algébriques. De même, l’expression rationnelle est de la forme p/q et l’un ou l’autre ou les deux p et q sont des expressions algébriques.

Par exemple, 10x + 63 et 5x – 3 sont des exemples d’expressions rationnelles : 3/ (x – 3), 2/ (x + 5), (4x – 1)/3, (x2 + 7x)/6, (2x + 5)/ (x2 + 3x – 10), (x + 3)/(x + 6) etc.

Comment multiplier des expressions rationnelles ?

Dans cet article, nous allons apprendre à multiplier des expressions rationnelles, mais avant cela, rappelons que deux fractions sont multipliées.

La multiplication de deux fractions implique de trouver le produit du numérateur de la première et de la deuxième fractions et le produit du dénominateur. En d’autres termes, la multiplication de deux nombres rationnels est égale au produit des numérateurs/produit de leurs dénominateurs.

Alternativement, vous pouvez effectuer la multiplication d’expressions rationnelles en ; factorisant et annulant d’abord le numérateur et le dénominateur, puis en multipliant les facteurs restants.

Voici les étapes requises pour multiplier des expressions rationnelles :

• Factoriser à la fois le dénominateur et le numérateur de chaque expression.
• Réduire les expressions aux termes les plus bas possibles seulement si les facteurs des numérateurs et des dénominateurs sont communs ou similaires.
• Multiplier ensemble les expressions restantes.

Exemple 1

Multiplier 3/5y * 4/3y

Solution

Produire séparément les numérateurs et les dénominateurs ;

3/5y * 4/3y = (3 * 4)/ (5y * 3y)

= 12/15y 2

Réduire la fraction en annulant par 3;

12/15y 2 = 4/5y2

Exemple 2

Multiplier {(12x – 4x 2)/ (x 2 + x -12)}. * {(x 2 + 2x -8)/ (x 3-4x)}

Solution

Factoriser les deux numérateurs et dénominateurs de chaque expression;

= {- 4x (x – 3)/(x-3) (x + 4)}. * {(x – 2) (x + 4)/x (x + 2) (x – 2)}

Réduire ou annuler les expressions et réécrire la fraction restante;

= -4/ x + 2

Exemple 3

Multiplier (x 2 – 3x – 4/x 2 -x -2) * (x 2 – 4/ x2 + x – 20).

Solution

Facteur des numérateurs et des dénominateurs de toutes les expressions;

= (x – 4) (x + 1)/ (x + 1) (x – 2) * (x + 2) (x – 2)/ (x – 4) (x + 5)

Annulation et réécriture des facteurs restants ;

= x + 2/ x + 5

Exemple 4

Multiplier

(9 – x 2/x 2 + 6x + 9) * (3x + 9/3x – 9)

Solution

Factoriser les numérateurs et les dénominateurs et annuler les facteurs communs ;

= – 1 (x + 3) (x – 3)/ (x + 3)2 * 3(x + 3)/3(x – 30

= -1

Exemple 5

Simplifiez : (x2+5x+4) * (x+5)/(x2-1)

Solution

En factorisant le numérateur et le dénominateur, on obtient ;

=>(x+1) (x+4) (x+5)/(x+1) (x-1)

En annulant les termes communs, on obtient ;

=>(x+4) (x+5)/x-1

Exemple 6

Multiplier ((x + 5) / (x – 4)). * (x / x + 1)

Solution

= ((x + 5) * x) / ((x – 4) * (x + 1))

= (x2 + 5x) / (x2 – 4x + x – 4)

= (x2 + 5x) / (x2 – 3x- 4)

Lorsqu’on multiplie un nombre entier par une expression algébrique, on multiplie simplement le nombre par le numérateur de l’expression.

C’est possible car, tout nombre entier a toujours un dénominateur de 1. Et donc, les règles de multiplication entre une expression et un entier ne changent pas.

Considérez l’exemple 7 ci-dessous :

Exemple 7

Multiplier ((x + 5) / (x2 – 4)). * x

Solution

= ((x + 5) / (x2 – 4)). * x / 1

= (x + 5) * x / (x2 – 4) × 1

= (x2 + 5x) / (x2 – 4)

Questions pratiques

Simplifiez les expressions rationnelles suivantes:

Réponses

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