Espace métrique, en mathématiques, notamment en topologie, un ensemble abstrait doté d’une fonction de distance, appelée métrique, qui spécifie une distance non négative entre deux quelconques de ses points de telle sorte que les propriétés suivantes soient respectées : (1) la distance du premier point au second est égale à zéro si et seulement si les points sont identiques, (2) la distance du premier point au second est égale à la distance du second au premier, et (3) la somme de la distance du premier point au second et de la distance du second point à un troisième est supérieure ou égale à la distance du premier au troisième. La dernière de ces propriétés est appelée l’inégalité triangulaire. Le mathématicien français Maurice Fréchet a initié l’étude des espaces métriques en 1905.
La fonction de distance habituelle sur la ligne des nombres réels est une métrique, tout comme la fonction de distance habituelle dans l’espace euclidien à n dimensions. Il existe également des exemples plus exotiques qui intéressent les mathématiciens. Étant donné tout ensemble de points, la métrique discrète spécifie que la distance d’un point à lui-même est égale à 0, tandis que la distance entre deux points distincts est égale à 1. La métrique dite du taxi sur le plan euclidien déclare que la distance d’un point (x, y) à un point (z, w) est égale à |x – z| + |y – w|. Cette « distance taxi » donne la longueur minimale d’un chemin de (x, y) à (z, w) construit à partir de segments de ligne horizontaux et verticaux. En analyse, il existe plusieurs métriques utiles sur des ensembles de fonctions continues ou intégrables à valeurs réelles bornées.
Ainsi, une métrique généralise la notion de distance habituelle à des cadres plus généraux. De plus, une métrique sur un ensemble X détermine une collection d’ensembles ouverts, ou topologie, sur X lorsqu’un sous-ensemble U de X est déclaré ouvert si et seulement si pour chaque point p de X il existe une distance r positive (éventuellement très petite) telle que l’ensemble de tous les points de X de distance inférieure à r de p est complètement contenu dans U. De cette façon, les espaces métriques fournissent des exemples importants d’espaces topologiques.
Un espace métrique est dit complet si chaque séquence de points dans laquelle les termes sont éventuellement arbitrairement proches par paire (une séquence dite de Cauchy) converge vers un point de l’espace métrique. La métrique habituelle des nombres rationnels n’est pas complète car certaines séquences de Cauchy de nombres rationnels ne convergent pas vers des nombres rationnels. Par exemple, la suite de nombres rationnels 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, … converge vers π, qui n’est pas un nombre rationnel. Cependant, la métrique habituelle sur les nombres réels est complète, et, de plus, tout nombre réel est la limite d’une suite de Cauchy de nombres rationnels. En ce sens, les nombres réels forment la complétion des nombres rationnels. La preuve de ce fait, donnée en 1914 par le mathématicien allemand Felix Hausdorff, peut être généralisée pour démontrer que tout espace métrique possède une telle complétion.