Tehokkaan ruuhkahinnoittelun periaatteet

William Vickrey

Columbian yliopisto

Kesäkuu 1992

Esittely

Taloustieteiden Nobel-palkinnon voittanutta William Vickreytä pidetään ruuhkahinnoittelun isänä. Hän ehdotti sitä ensimmäisen kerran vuonna 1952 New Yorkin metrojärjestelmää varten ja suositteli, että hintoja korotettaisiin ruuhka-aikoina ja vilkkaasti liikennöidyillä osuuksilla ja alennettaisiin muilla osuuksilla. Valitut virkamiehet pitivät sitä riskialttiina, eikä teknologia ollut vielä valmis. Myöhemmin hän teki samanlaisen ehdotuksen tienkäyttömaksuista.

Vickrey piti vuorokauden aikahinnoittelua klassisena markkinavoimien soveltamisena kysynnän ja tarjonnan tasapainottamiseksi. Ne, jotka pystyvät, voivat siirtää aikataulujaan edullisempiin aikoihin, mikä vähentää ruuhkia, ilmansaasteita ja energiankulutusta – ja lisää teiden tai muiden yleishyödyllisten palvelujen käyttöä. ”Liikennevirta ei vähene, vaan lisääntyy, koska liikenne jakautuu tasaisemmin ajallisesti”, hän sanoi. ”Jopa jotkut ruuhkamaksujen kannattajat eivät ymmärrä tätä.”

Hän on myöntänyt, että hänen ideoitaan ei ole joskus otettu hyvin vastaan julkista politiikkaa määrittelevien tahojen keskuudessa, koska ”ihmiset pitävät sitä veronkorotuksena, mikä on mielestäni sisin reaktio. Kun otetaan huomioon autoilijoiden aika, kyse on todellisuudessa säästöstä.”

Hän ehdotti: ”Yksi mahdollinen havaitsemis- ja laskutusmenetelmä olisi käyttää jokaisessa ajoneuvossa olevia elektronisia tunnisteyksiköitä, jotka aktivoisivat tiellä tai tiellä olevia tallennuslaitteita. Tietokoneet lajittelisivat tiedot ja määrittäisivät maksut; autoilijoita laskutettaisiin kuukausittain.” Nykyaikaiset tienkäyttömaksujärjestelmät toimivat juuri näin.

Tehokkaan ruuhkamaksutuksen periaatteet

Tässä on joitakin William Vickreyn ajatuksia siitä, miten teiden ja pysäköinnin tehokas ruuhkamaksu voidaan toteuttaa.

1. Maksujen tulisi heijastaa mahdollisimman tarkasti kunkin matkan sosiaalisia rajakustannuksia muihin kohdistuvien vaikutusten kannalta.

Maksut voidaan asettaa niin, että ne ylittävät tällaiset kustannukset keinona hankkia lisätuloja valtiolle vähäisellä ylimääräisellä rasituksella, jota voidaan naiivisti perustella siten, että tälle toiminnalle asetetaan lisämaksuvero, joka on verrattavissa muiden toimintojen ja ostosten lisämaksuihin. Sosiaalisia rajakustannuksia alhaisemmille maksuille ei ole mitään syytä. Jos väitetään, että tällaiset maksut olisivat jossakin yksittäistapauksessa toivottavia jakosyistä, on aina olemassa tehokkaampia ja oikeudenmukaisempia tapoja toteuttaa tällainen uudelleenjako.Jos sekä tehokkuus että tulot uhrataan, tehokkuuden menetystä on harvoin, jos koskaan, mahdollista korvata muualla.

2. Maksujen tulisi vaihdella tasaisesti ajan myötä.

Vain tällä tavoin voidaan kannustaa kaikkia siirtämään matkustusajankohtaa pois ruuhkahuipusta, vaikkakin vain pienellä määrällä. Jos maksut vaihtelevat epäjatkuvasti, syntyy kohtuuttomia kannustimia kiirehtiä maksun nousun edellä tai jäädä odottamaan maksun laskua. On todennäköistä, että syntyy minihuippuja juuri ennen suunniteltua korotusta tai juuri suunnitellun laskun jälkeen. Vain harvat ruuhkahuipun aikaan liikkuvista ovat halukkaita muuttamaan matka-aikaansa tuntitolkulla tai enemmän, mikä on tarpeen alhaisemman maksun saamiseksi. Usein on helpompaa ja vähemmän häiriöitä aiheuttavaa saada 12 kuljettajaa siirtämään matka-aikaansa 10 minuutilla kukin kuin saada yksi henkilö siirtämään matka-aikaansa kahdella tunnilla.

Jos työaikojen porrastaminen onnistuisi aluksi ruuhkahuippujen poistamisessa, ilman tiemaksuja se ei onnistuisi, koska yritykset, jotka näkevät ruuhkien vähentyneen, palaisivat takaisin suosimiinsa kellonaikoihin ja ruuhkat syntyisivät uudelleen. Tämän estämiseksi tarvitaan hintojen kohtuullisen tasaista vaihtelua ajan mittaan.

3. Tehokkaita maksuja ei voida määritellä pelkästään yksittäisen matkan ajankohdan olosuhteiden perusteella, vaan niissä on otettava huomioon matkan vaikutus muuhun liikenteeseen matkan tekohetkestä ruuhkautumisjakson loppuun asti.

Esimerkki: Jos jonotusolosuhteet ovat sellaiset, että ruuhkautumiskohdan läpi kulkeva virtaus on kapasiteetin rajoissa kello 7.00-10.00, ruuhkautumiskohdan läpi kello 7.10 kulkeva auto voi kohdata lyhyen jonon ja myöhästyä vain 5 minuuttia, mutta se on vastuussa siitä, että yksi auto myöhästyy jonossa kello 7.10:n ja 10.00:n välisenä aikana, eli 2,83 ajoneuvotunnin myöhästymisestä; päinvastoin, ruuhkautumiskohdan läpi kello 9.55 kulkeva auto voi olla myöhästynyt 15 minuuttia, mutta se myöhästyttää muita autoja vain 5 minuuttia. Autoilija, joka aloittaa matkansa 30 minuuttia aikaisemmin, voi lyhentää omaa odotusaikaansa vaikkapa 15 minuutista viiteen minuuttiin, mutta ellei hän pääse kokonaan vapaaksi jonosta, hän lisää kokonaisodotusaikaa 30 ajoneuvominuutilla ja muiden yhteenlaskettua odotusaikaa 40 ajoneuvominuutilla.Jos maksut laskettaisiin autoilijan oman viivytyksen perusteella, kannustin olisi päinvastainen. Tehokkaat ruuhkamaksut poistaisivat suurimman osan jonon viivytyksestä ilman, että ruuhkahuippuvirta pienenisi ja että sivuvirta mahdollisesti lisääntyisi. Sosiaalisia rajakustannuksia mitataan odotetulla ajalla, joka kuluu tietyn auton kulkemisesta ruuhkautumispisteen läpi siihen seuraavaan ajankohtaan, jolloin jono laskee nollaan.

Jos ruuhkautuminen on niin voimakasta, että liikennetiheys on maksimivirtauksen yläpuolella, mikä yleensä tapahtuu aina, kun nopeus on alle 60 prosenttia alhaisen tiheyden nopeudesta, vaikutukset voivat olla vieläkin vakavampia. Ylimääräisen auton tuominen alueelle vähentää kokonaisvirtausta, jolloin autojen nopeus poistua ruuhkautuneelta katuverkolta vähenee, tiheys kasvaa ja virtaus vähenee edelleen eksponentiaalisesti. Olen arvioinut, että vuoden 1983 olosuhteissa Manhattanin keskikaupungilla kolmen mailin lisämatka kello 11.00 voi aiheuttaa 100-300 ajoneuvotunnin lisäviivytyksen loppupäivän aikana. Pitämällä liikennetiheyden kasautuminen alle pisteen, jossa liikennevirta alkaa vähentyä, tehokas tienkäyttömaksu voi itse asiassa lisätä ruuhka-aikojen liikennevirtaa ja monissa tapauksissa lisätä päivittäistä kokonaisliikennevirtaa samalla kun nopeudet kasvavat, ilman pilaantuminen vähenee ja saadaan tarvittavat julkiset tulot.

4. Tehokkuutta voidaan tehostaa tietyllä tiedonkeruun tasolla perimällä maksuja havainnointipisteestä seuraavaan kulkevan matkan perusteella eikä pelkästään havainnointipisteen ohi kulkevan matkasegmentin perusteella.

Tämä voidaan toteuttaa jakamalla ruuhka-alue sopivan kokoisiin vyöhykkeisiin, jotka ovat riittävän suuria, jotta tarkastuspisteitä voidaan asentaa jokaiseen vyöhykkeen rajan ylittävään liikenneväylään. Käsittelyssä ajoneuvon jokaista vyöhykkeelle tuloa ja sieltä poistumista voidaan verrata toisiinsa, ja maksu voidaan määrätä ilmoitetun kulkureitin mukaan sen sijaan, että se perittäisiin erikseen pelkän valvontapisteen ohittamisesta.

5. On paljon perusteltua periä maksuja jälkikäteen ja tiukan vastuun perusteella sen todellisen vaikutuksen perusteella, joka matkalla on laskennallisesti ollut todellisuudessa koettuun liikenteeseen koko päivän ajan, eikä jonkin etukäteen vahvistetun aikataulun mukaan.

Nykyisessä aikataulussa ei voida ottaa huomioon sään, urheilutapahtumien ja muiden vastaavien tapahtumien aiheuttamaa ruuhkautumista, kun taas autoilijoilla olisi mahdollisuus saada tietoa näistä tilanteista ja mukauttaa matkojaan niiden mukaisesti. Satunnaisten tapahtumien, kuten tulipalojen, onnettomuuksien ja vastaavien osalta voitaisiin ehkä sallia 15 tai 30 minuutin siirtymäaika siitä, kun tapahtumasta on tiedotettu, ennen kuin korotetut maksut tulevat voimaan, jotta vältettäisiin aiheettomien maksujen periminen autoilijoilta, joilla ei olisi ollut mahdollisuutta muuttaa suunnitelmiaan. Kysymys kuuluukin, voidaanko autoilijoiden odotuksiin luottaa, jotta he voivat tehdä parempia arvioita tulevista olosuhteista kuin mitä heille voidaan esittää aikatauluissa ja lähetyksissä. Ongelmana on, että ruuhkautumisen uhatessa liikenneolosuhteet näyttävät usein vaihtelevan hyvin paljon päivästä toiseen, vaikka vaihtelulle ei ole mitään yleisesti tunnistettavaa syytä.

6. Kaikilta ajoneuvoilta olisi poikkeuksetta perittävä maksu, myös kuorma-autoilta, lääkärien autoista, lehdistöautoista, virkamiesten ja diplomaattien autoista jne.

Silloinkin kun näistä maksuista vastaavat kolmannet osapuolet, on hyödyllistä säilyttää markkinahinnoitteluperiaatteen eheys ja välttää kiistat vapautuksen myöntämisestä. Myös julkisista ajoneuvoista, kuten poliisi- ja paloautoista, olisi perittävä maksu, vaikka kyse olisikin vain kirjanpidollisesta siirrosta, jotta näistä toiminnoista aiheutuvista kustannuksista saataisiin todellinen kuva ja jotta ne kannustaisivat hoitamaan tehtäviään tehokkaammin ja mahdollisesti kannustaisivat julkisten varojen parempaan budjetointiin todelliset kustannukset huomioon ottaen. Periaatteessa voitaisiin jopa puoltaa lisämaksujen soveltamista silloin, kun käytetään sireenejä tai muita etusijalla olevia opastimia, vaikka monet pitäisivätkin tätä liian pitkälle menevänä periaatteena.

7. Taksitaksat aiheuttavat erityisongelman, joka liittyy maksun määrittämiseen maksun syntymisajankohtana, jotta se voidaan periä asiakkaalta.

Kun muut ajoneuvot laskutetaan kuukausittain segmenttikohtaisesti, voi kuitenkin olla mahdollista ottaa käyttöön taksiautojen osalta erityisjärjestelmä, jossa ne laskutetaan modifioidun pisteen perusteella. Majakoiden tai skannerien lähettämää sädettä voidaan moduloida siten, että se osoittaa, että mittarimaksuun lisätään kilometrikohtainen maksutaso, kunnes seuraava tarkastuspiste saavutetaan, tai kunnes tietty kilometrimäärän lisäys on saavutettu, jälkimmäisellä tavalla vältetään kohtuuttomat maksut vyöhykejaon ulkopuolisten matkojen osalta. Vaikka se ei ole yhtä tarkka kuin segmenttimaksumenetelmä, sen pitäisi olla riittävän tarkka tarkoitukseensa, jotta tarkemman järjestelmän kustannukset eivät ehkä olisi perusteltuja.

8. Pysäköinti kadunvarsipysäköinnissä, jos se on ylipäätään sallittua, olisi veloitettava markkinoiden puhdistamisen perusteella.

Periaatteessa hinnan olisi heijastettava mahdollisimman tarkasti paikan käytöstä aiheutuvia sosiaalisia rajakustannuksia, kun otetaan huomioon muille pysäköijille aiheutuvat kustannukset, jotka aiheutuvat siitä, että paikan löytäminen on vaikeampaa tai että pysäköijät joutuvat turvautumaan muihin liikennemuotoihin. Käytännössä tätä voitaisiin lähentää säännöllä, jonka mukaan maksuja olisi korotettava, jos sopivan viikkomäärän aikana alle 5 prosenttia paikoista on tyypillisesti vapaana tietyn ajanjakson aikana, ja jos vapaita paikkoja on jatkuvasti yli 20 prosenttia, maksuja olisi alennettava tai ne olisi lopulta poistettava. Maksut voidaan tarkoituksenmukaisesti mukauttaa ajoneuvon koon mukaan.

Yksittäistä pysäköintipaikkaa valvova kolikkopysäköintimittari on sopimaton laite tällaisten maksujen keräämiseen. Nykyiset pysäköintimittarit toimivat vain yhdellä hinnalla, kun ne on määritetty olevan päällä, ja hinnan säätäminen muuttuvien olosuhteiden mukaan on kallista.Tulojen kerääminen ja tarkastaminen on kallista, ja varkaudet ja ilkivalta ovat usein ongelmia.

9. Yksi yksinkertainen ja edullinen keräysmenetelmä olisi pysäköintikortit.

Pysäköintikortteja voidaan myydä sopivissa nimellisarvoissa huoltoasemilla, lottokuponkien yhteydessä tai postitse. Kortteihin painettaisiin ennen käyttöä sen ajoneuvon rekisterinumero, jonka kanssa niitä on tarkoitus käyttää. Käyttäjä löytäisi tai runnoisi yhden tai useamman kortin, jonka kokonaisarvo vastaa ennakoitua maksua, määrittääkseen pysäköinnin alkamisajankohdan, ja asettaisi kortin ajoneuvoon. Maksettu aika määritetään vertaamalla näytettyjen korttien arvoa sopivin väliajoin ilmoitettuun aikatauluun.

Suurimmat ongelmat ovat kuljettajalta vaadittava hienostuneisuus, ellei maksuaikataulua yksinkertaisteta niin paljon, että se ei riitä tilan tehokkaimpaan käyttöön, ja se, että vartijoilta kestäisi pidempään todeta, onko auto rikkonut pysäköintivelvoitetta vai ei, verrattuna mekaanisen pysäköintimittarin lipun tarkkailuun. Toisaalta pääoma-, ylläpito-, keräys- ja tarkastuskustannusten pitäisi olla paljon pienemmät kuin mekaanisen mittarin. Maksuja voidaan ajoittain mukauttaa vastaamaan vallitsevia olosuhteita muuttamalla vain ilmoitettuja aikatauluja. Joitakin vaikeuksia saattaa esiintyä siinä, että vakiokäyttäjät sopeutuvat nopeasti uuteen aikatauluun.

10. Toinen tapa olisi käyttää pysäköintilippuautomaatteja.

Automaatit pystytettäisiin sopiviin väleihin, joissa voidaan painaa painiketta, joka osoittaa ajoneuvoluokan, ja syöttää rahaa, kunnes näyttö, joka osoittaa pysäköinnin maksetun ajan, saavuttaa tyydyttävän arvon. Erityisesti silloin, kun asianmukainen maksutaso edellyttäisi hankalaa kolikoiden määrää, maksu voidaan suorittaa asettamalla luottokortti tai arvokortti ja painamalla painiketta, kunnes haluttu aikaraja on saavutettu. Painamalla toista painiketta annetaan lippu, jossa ilmoitetaan ajoneuvotyyppi ja voimassaoloaika sekä mahdollisesti käytetyn kortin sarjanumero, joka voi sisältää sen ajoneuvon rekisterinumeron, jolla korttia on tarkoitus käyttää. Tämä lippu näytetään sitten ajoneuvossa. Lipun tiedot voidaan ilmoittaa suurikokoisessa koodatussa muodossa, jonka vartija voi tarkastaa kohtuulliselta etäisyydeltä, mikä nopeuttaa tarkastusprosessia.

Tämän järjestelmän suurena etuna on, että maksuaikataulu voidaan porrastaa melko tarkasti kysynnän ja tarjonnan tasapainottamiseksi ilman, että pysäköijälle tai vartijalle aiheutuu vaikeuksia, ja sitä voidaan päivittää melko helposti olosuhteiden muuttuessa. Pieni haittapuoli on se, että pysäköijän on käveltävä pysäköidystä autosta lippuautomaatille ja takaisin. Pääoma- ja ylläpitokustannukset ovat suuremmat kuin korttimenetelmässä. Halvempaa korttimenetelmää voidaan pitää väliaikaisena toimenpiteenä, kunnes päätetään, kuinka suuri alue katetaan lippuautomaattimenetelmällä.

Kummassakin tapauksessa pysäköinninvalvojien velvollisuutena olisi pitää päivittäin kirjaa havaitusta käytöstä, jotta maksuja voitaisiin mukauttaa tehokkaaseen malliin.

11. Jakeluajoneuvoja ja muita usein lyhyitä pysähdyksiä tekeviä ajoneuvoja on kohdeltava erityiskohtelulla, esimerkiksi käyttämällä ajoneuvon sisäisiä pysäköintimittareita.

Kuljetusajoneuvot ja muut vastaavat ajoneuvot voitaisiin varustaa mittarilla, joka voidaan asettaa toimimaan vaihtelevalla nopeudella, joka näytetään valvontaviranomaisten tarkastusta varten. Mittari nollattaisiin määräajoin samaan tapaan kuin postimaksumittari. Kaksoispysäköinnistä tai pysäköinnistä rajoitusten alaisille paikoille voitaisiin periä sopivan korkea maksu sen sijaan, että pysäköintiä rangaistaisiin satunnaisesti tai se sallittaisiin. On naurettavaa nähdä kuorma-autoja pysäköimässä kahteen kertaan aivan bussipysäkkien taakse, vaikka pysäköinti laittomasti bussipysäkille aiheuttaisi paljon vähemmän haittaa bussiliikenteelle. Tällaiset maksut kannustaisivat paitsi siirtämään toimitukset ruuhka-aikojen ulkopuolelle myös lyhentämään liikennettä haittaavaa aikaa palkkaamalla lisää työntekijöitä nopeuttamaan nouto- ja jakelutoimintaa. Pidemmällä aikavälillä voidaan myös korvata ruuhkia aiheuttavia toimintoja vähemmän ruuhkia aiheuttavilla toiminnoilla ja järjestää lastauspaikat siten, että ne eivät estä liikennettä. Suurin ongelma tässä yhteydessä lienee objektiivisen ja hallittavissa olevan perustan löytäminen eri aikoina ja eri paikoissa perittävien maksujen tason määrittämiselle.

12. Poliittinen sekaantuminen ja byrokraattinen kömmähdys voivat pilata pelin.

Julkisten palvelujen hinnoittelusta saadut kokemukset eivät valitettavasti anna aihetta uskoa, että käytännössä voidaan päästä lähelle tehokasta optimia. Monissa tapauksissa tehokkuus edellyttää monien toimintatapojen huomattavaa häirintää, vaikkakaan erityisesti jatkuvissa jonoissa ja ruuhkaisissa verkoissa muutos ei välttämättä ole niin suuri kuin monet pelkäävät. Poliittisesti ehkä suurempi vaikutus on sillä, että monissa tapauksissa yksilöitä pyydetään maksamaan melko korkeat markkinahinnat siitä, mitä he ovat saaneet ilman välittömiä rahallisia kustannuksia, vaikkakin monissa tapauksissa hyvin korkeat kustannukset ajanhukan muodossa. Poliittisen elämän valitettava tosiasia on, että ne, jotka odottavat kärsivänsä muutoksesta, kokevat uhan hyvin elävästi ja pitävät vastaavasti suurta poliittista meteliä, kun taas potentiaaliset edunsaajat eivät useinkaan ole yhtä elävästi tietoisia heitä odottavista eduista ja pyrkivät näin ollen vaikuttamaan poliittiseen tasapainoon suhteellisen vähän.

Byrokraattisella tasolla on myös taipumus tyytyä vallitsevaan tilanteeseen, erityisesti silloin, kun virkakausi on suhteellisen varma. Jopa silloin, kun muutos on ilmeisen tarpeellinen, se tapahtuu yleensä homeopaattisina annoksina ja noudattaa perinteisten mallien mukaista suhteellista mukauttamista sen sijaan, että murtautuisi innovatiivisille alueille. On myös olemassa ”ei ole keksitty täällä” -oireyhtymä, joka on erityisen yleinen suurissa organisaatioissa, jotka pitävät itseään sui generis -tyyppisinä.

Tulee siis tarvitsemaan paljon ponnisteluja ja vakavasti otettavaa valistusta, jotta edellä esitetyillä linjoilla päästään eteenpäin. Potentiaaliset hyödyt ovat kuitenkin niin suuria, että saattaa olla mahdollista pitää erityisintressien sekaantuminen kurissa ja voittaa traditionalistien vastustus, jotta saadaan aikaan jotain todella arvokasta. Ja kun alku on kerran saavutettu, kuka tietää, kuinka paljon pidemmälle voidaan mennä.

Biografia

William Vickrey syntyi Victoriassa, Brittiläisessä Kolumbiassa, vuonna1914, ja hän valmistui matematiikan kandidaatiksi Yalesta vuonna 1935. Kävi Columbian yliopistossa jatko-opiskelemassa taloustieteissä vuosina 1935-1937,jolloin hän sai maisterin tutkinnon. Hänen väitöskirjansa ”Agenda for Progressive Taxation”, jonka hän kirjoitti Robert Murray Haigille vuoden 1948 väitöskirjaa varten, painettiin uudelleen vuonna 1964 osana taloustieteen klassikkosarjaa.

Hänen ensimmäinen tutkimuksensa julkisten palvelujen tehokkaasta hinnoittelusta vuosina1939 ja 1940 koski sähkövoimateollisuutta The Twentieth Century Fund -rahastolle. Vuonna 1951 hän tutki New Yorkin pormestarin hallintokomitealle (Mayor’s Committee on ManagementSurvey) kuljetusmaksuja, ja vuonna 1959 hän esitti kongressille ehdotuksen Columbian piirikunnan liikenneruuhkien hallitsemiseksi elektronisesti määräytyvillä käyttäjämaksuilla. Hän on käsitellyt kaupunkisuunnittelun ongelmia Kalkutassa Fordin säätiön kanssa ja Buenos Airesissa ja New Delhissä Maailmanpankin kanssa.

Toisen maailmansodan aikana aseistakieltäytyjänä hän käytti osan varusmiespalveluksestaan Puerto Ricon uuden perintöveron suunnitteluun. Sodan jälkeen hän liittyi Columbian taloustieteilijä Carl Shoupin kanssa taloustieteilijöiden ryhmään, joka kiersi Japanissa vuosina 1949 ja 1950 suosittelemassa maan verojärjestelmän uudistuksia.

Vickrey aloitti uransa Columbian yliopistossa taloustieteen lehtorina vuonna 1946. Hän liittyi tiedekuntaan apulaisprofessoriksi vuonna 1948 ja nimitettiin apulaisprofessoriksi vuonna 1950, professoriksi vuonna 1958 ja poliittisen taloustieteen McVickar-professoriksi vuonna 1971. Hän toimi taloustieteen laitoksen puheenjohtajana vuosina 1964-1967 ja jäi eläkkeelle emeritusprofessorina vuonna 1982. Hän toimii aktiivisesti kampuksella ja jatkaa tutkimustyötään.

Hänet valittiin Kansallisen tiedeakatemian jäseneksi vuonna 1996 ja hän toimi American Economics Associationin puheenjohtajana vuonna 1992. Hänet valittiin Econometric Societyn jäseneksi vuonna 1967 ja hän sai Chicagon yliopiston kunniatohtorin arvonimen vuonna 1979 peliteorian ja sosiaalisen valinnan teorian alalla tekemästään työstä. Hänelle myönnettiin taloustieteen Nobel-palkinto lokakuussa 1996. Hän kuoli 82-vuotiaana luonnollisista syistä kaksi päivää Nobel-palkinnon julkistamisen jälkeen.

Bibliografia

Yli 60 vuotta kestäneen akateemisen uransa aikana William Vickre julkaisi satoja kirjoja ja artikkeleita, jotka kattoivat monenlaisia taloustieteen aiheita. Alla on kaksi erinomaista tiivistelmää hänen työstään.