Paul Cohen (1934-2007)
Paul Cohen kuului uuteen amerikkalaiseen matemaatikkojen sukupolveen, joka sai innoituksensa eurooppalaisista pakolaisista sotavuosina. Hän itse oli toisen polven juutalainen maahanmuuttaja, mutta hän oli pelottavan älykäs ja äärimmäisen kunnianhimoinen. Pelkällä älykkyydellään ja tahdonvoimallaan hän saavutti itselleen mainetta, rikkauksia ja korkeimmat matemaattiset palkinnot.
Hän opiskeli New Yorkissa, Brooklynissa ja Chicagon yliopistossa ennen kuin nousi Stanfordin yliopiston professoriksi. Hän voitti arvostetun matematiikan Fields-mitalin sekä kansallisen tiedemitalin ja Bôcherin muistopalkinnon matemaattisessa analyysissä. Hänen matemaattiset kiinnostuksen kohteensa olivat hyvin laajat, ja ne vaihtelivat matemaattisesta analyysistä ja differentiaaliyhtälöistä matemaattiseen logiikkaan ja lukuteoriaan.
1960-luvun alussa hän paneutui tosissaan ensimmäiseen Hilbertin 23:sta avoimen ongelman listasta, eli Cantorin kontinuumihypoteesiin, eli siihen, onko olemassa lukujoukkoa, joka on isompi kuin kaikkien luonnollisten lukujen (tai kokonaislukujen) joukko, mutta pienempi kuin reaalilukujen (tai desimaalilukujen) joukko. Cantor oli vakuuttunut siitä, että vastaus oli ”ei”, mutta ei kyennyt todistamaan sitä tyydyttävästi, eikä kukaan muukaan, joka oli sittemmin paneutunut ongelmaan.
Yksi useista vaihtoehtoisista muotoiluista Zermelo-Fraenkelin aksioomeille ja valinnan aksioomalle
Neuvontaa oli tapahtunut jonkin verran sen jälkeen, kun Cantor tuli mukaan. Noin vuosina 1908-1922 Ernst Zermelo ja Abraham Fraenkel kehittivät aksiomaattisen joukko-opin vakiomuodon, josta tuli matematiikan yleisin perusta ja joka tunnetaan nimellä Zermelo-Fraenkel-joukko-oppi (ZF tai, valinta-aksioomalla muunnettuna, nimellä ZFC).
Kurt Gödel osoitti vuonna 1940, että jatkumohypoteesi on johdonmukainen ZF:n kanssa ja että jatkumohypoteesia ei voida kumota standardista Zermelo-Fraenkel-joukkoteoriasta, vaikka valinnan aksiooma hyväksyttäisiinkin. Cohenin tehtävänä oli siis osoittaa, että kontinuumihypoteesi oli riippumaton ZFC:stä (tai sitten ei), ja erityisesti todistaa valinta-aksiooman riippumattomuus.
Pakkotekniikka
Cohenin poikkeuksellinen ja rohkea johtopäätös, johon hän päätyi käyttämällä uutta, itse kehittämäänsä tekniikkaa, jota kutsuttiin ”pakottamiseksi”, oli se, että kumpikin vastaus saattoi pitää paikkansa eli että kontinuumihypoteesi ja valinta-aksiooma olivat täysin riippumattomia ZF:n joukko-opista. Näin ollen voisi olla olemassa kaksi erilaista, sisäisesti johdonmukaista matematiikkaa: toinen, jossa jatkuvuushypoteesi oli tosi (eikä tällaista lukujoukkoa ollut olemassa), ja toinen, jossa hypoteesi oli väärä (ja lukujoukko oli olemassa). Todistus vaikutti oikealta, mutta Cohenin menetelmät, erityisesti hänen uusi ”pakottamistekniikkansa”, olivat niin uusia, ettei kukaan ollut aivan varma, ennen kuin Gödel lopulta antoi hyväksyntänsä vuonna 1963.
Cohenin havainnot olivat yhtä vallankumouksellisia kuin Gödelin omat. Siitä lähtien matemaatikot ovat rakentaneet kaksi erilaista matemaattista maailmaa: toisen, jossa jatkuvuushypoteesi pätee, ja toisen, jossa se ei päde, ja nykyaikaisiin matemaattisiin todistuksiin on lisättävä lausuma, jossa ilmoitetaan, riippuuko tulos jatkuvuushypoteesista vai ei.
Cohenin paradigman muuttava todistus toi hänelle mainetta, rikkauksia ja matemaattisia palkintoja yllin kyllin, ja hänestä tuli huippuprofessori Stanfordissa ja Princetonin yliopistossa. Menestyksen huumassa hän päätti tarttua modernin matematiikan Graalin maljaan, Hilbertin kahdeksanteen ongelmaan, Riemannin hypoteesiin. Hän vietti kuitenkin elämänsä viimeiset 40 vuotta, aina kuolemaansa vuonna 2007 asti, ongelman parissa, eikä saanut vieläkään ratkaisua (vaikka hänen lähestymistapansa on antanut uutta toivoa muille, kuten hänen loistavalle oppilaalleen Peter Sarnakille).
| << Takaisin Weiliin | Eteenpäin Robinsoniin ja Matiyasevichiin >> |