Idea

Mittateorialla voidaan tarkoittaa joko klassista kenttäteoriaa tai kvanttikenttäteoriaa, jonka kenttäkonfiguraatiot ovat differentiaalisen kohomologian (abeliaanisen tai ei-abeliaanisen) kokosyklejä.

Tavanomaiset mittateoriat

Tavanomainen mittateoria on kvantti- eli kvanttikenttäteoria, jonka kenttäkonfiguraatioiden vektorikimput ovat yhteyksiä.

Tähän kuuluvat erityisesti ne kentät, jotka kantavat hiukkasfysiikan standardimallin kolmea perusvoimaa:

  • Ordinaarinen sähkömagnetismi ilman magneettisia varauksia on U(1)U(1)-prinsiipinippujen kytkentäisten vektorinippujen mittateoria.

  • Jang-Mills-teorian kentät (kuten hiukkasfysiikan standardimallissa ja GUT:issa esiintyvät) ovat vektorinippuja, joilla on yhteys.

Muita esimerkkejä ovat muodolliset fysikaaliset mallit.

  • Dijkgraaf-Wittenin teoria on mittateoria, jonka kenttäkonfiguraatiot ovat GG-pääkimppuja äärelliselle ryhmälle GG (näillä on mukana ainutkertainen yhteys, joten tässä yksinkertaisessa tapauksessa yhteys ei ole mikään ylimääräinen datum).

Ryhmää GG kutsutaan näissä esimerkeissä teorian mittaryhmäksi.

Korkeammat ja yleistetyt mittakenttäteoriat

Edellä mainitut esimerkit mittakenttäteorioista koostuivat 11. asteen differentiaalikohomologian kookykleistä.

Yleisemmin korkeampi mittakenttäteoria on kvanttikenttäteoria, jonka kenttäkonfiguraatiot ovat kookyklejä yleisemmässä differentiaalikohomologiassa, esimerkiksi korkeamman asteen Delignen kookyklejä tai yleisemminkin muussa differentiaalisessa hienostuneisuudessa esiintyviä kookyklejä, esimerkiksi differentiaalisessa K-teoriassa.

Tämä yleistys sisältää kyllä kokeellisesti näkyvää fysiikkaa, kuten

  • Sähkömagnetismissa magneettivirta on nipun gerbe, jolla on yhteys, Deligne-kosykli, joka tarkentaa 33 asteen Eilenberg-MacLane-kohomologiassa olevaa kookosykliä: magneettinen varaus .

Mutta kokonainen torni korkeampia ja yleistettyjä mittateorioita tuli näkyviin korkeampien supergravitaatioteorioiden tutkimisen myötä,

  • Kalb-Ramondin kenttä on nipun gerbe, jolla on yhteys, Deligne-kokisykli, jolla on 3-muotoinen kaarevuus.

  • Supergravitaatiokenttä C-kenttä on Deligne-kokisykli, jolla on kaarevuus 4-muoto.

  • RR-kenttä on kookisykli differentiaalisessa K-teoriassa.

Gravitaatio (ei-)mittateoriana

Ykköslaadun formuloinnissa gravitaatioteorian lisäksi myös gravitaatioteoria näyttää hiukan mittateorialta. Siinä on kuitenkin ratkaiseva ero. Tosiasiassa kyse on Cartan-geometriasta: gravitaatiokenttä voidaan koodata vielbein-kenttään, nimittäin tangenttinipun ortogonaaliseen rakenteeseen, siis esimerkkinä G-rakenteesta, ja tämän G-rakenteen vääntövapaus voidaan koodata apukytkennällä, nimittäin Cartan-kytkennällä, jota usein kutsutaan tässä yhteydessä âspin-kytkennäksiâ. Näin ollen, vaikka Cartan-geometrian muotoilussa gravitaatiota kuvataan monilla differentiaaligeometriasta peräisin olevilla ainesosilla, jotka hallitsevat myös puhdasta ulottumateoriaa, se ei ole aivan sama asia. Erityisesti Cartanin yhteydelle on asetettu rajoitus, joka vielbein-kenttien kannalta on rajoitus, jonka mukaan vielbein (joka on osa Cartanin yhteyttä) ei saa olla degeneroitunut, ja näin ollen se on oikeastaan âjuotosmuotoâ. Tällaista rajoitusta ei ole âaidossaâ ulottumateoriassa, kuten Yang-Mills-teoriassa tai Chern-Simons-teoriassa.

Ominaisuudet

Ei redundanssia ja paikallisuus

Joskus näkee ilmaistun näkemyksen, että ulottumissymmetria on âvain redundanssiaâ fysiikan teorian kuvauksessa, esimerkiksi siten, että havaintomuuttujista vain ulottumainvariantit muuttumattomia ovat fysikaalisesti merkityksellisiä.

Tämä väite kuitenkin

Anomaliat

Magneettisen varauksen läsnäollessa (ja sitten vielä ilman kiraalisia fermionianomalioita?) korkeampien ulottumateorioiden vakiomuotoinen toimintafunktio voi olla epämääräinen. Green-Schwarzin mekanismi on kuuluisa ilmiö differentiaalikohomologiassa, jonka avulla tällainen kvanttianomalia kumoaa kiraalisten fermionien antaman anomalian.

Luettelo mittakentistä ja niiden malleista

Seuraavassa pyritään antamaan yleiskatsaus joihinkin fysiikan mittakenttien kokoelmiin, niiden malleihin differentiaalikohomologian avulla ja lisätietoihin.

  • Yang-Millsin kenttä

    • cocycle in lowest degree nonabelian differential cohomology

      • originally realized in terms of differential ?ech-kosykleistä

        F^âH(X,B¯G) \hat F \in \mathbf{H}(X, \bar \mathbf{B} G)

        joilla on kertoimet Lie-algebra-arvoisten muotojen groupoidissa,

        tällöin perinteisesti vektorinippujen suhteen, joiden yhteys

    • kentän voimakkuus riippuu ryhmästä GG, meillä on

      • G=U(1)G = U(1) – sähkömagnetismi (ks. alla)

      • G=SU(2)ÃU(1)G = SU(2)\times U(1) – sähköheikon voimakentän voimakkuus

      • G=SU(3)G = SU(3) – vahvan ydinvoiman voimakentän voimakkuus

    • paralleliikenne: Wilson-viivat

  • sähkömagneettinen kenttä

    • kosykli 22. asteen tavallisessa differentiaalikohomologiassa

      • luonnollisesti/historiallisesti toteutunut Maxwell-Dirac-esityksen suhteen ?echâDeligne-kokyklin kokyklinä
        F^âH(X,B¯U(1)) \hat F \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}) U(1))

    • kentän voimakkuus: Sähkökenttä EE ja magneettikenttä BB, paikallisesti pisteessä xâXx \in X

      F=Eâ§dt+â 3B F = E \wedge d t + \star_3 B

    • on X=â 3\{0}X = \mathbb{R}^3\backslash \{0\}: perimmäinen luokka integraalikohomologiassa cl(F^)âH(X,BU(1))âH 2(X,â¤)cl(\hat F) \in H(X,\mathbf{B} U(1)) \simeq H^2(X,\mathbb{Z}) on magneettisen varauksen

    • paralleelikuljetus: sähköisesti varautuneen kvanttikvantti-1-hiukkasen

  • Kalb-Ramond-kentän

    • kokonaisuus 33. asteen tavallisessa differentiaalikohomologiassa

      • luonnollisesti/historiallisesti toteutunut

        • kokomologian suhteen ?echâDeligne-kokykli

          H^âH(X,B¯ 2U(1))\hat H \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}^2 U(1))

        • nipun gerbe, jolla on kytkentäliitännän

    • kentän vahvuus: HâΩ 3(X)H \in \Omega^3(X) âHH-kenttäâ â D-kalvolla tämä on magneettivirta Yang-Mills-kentän magneettivirta kalvolla

    • paralleelikuljetus: mittasuhdevuorovaikutus sähköisesti varautuneen kvanttikvantti2-hiukkasen (säikeen) toimintafunktionaalin kappale.

  • supergravitaatio-C-kenttä

    • kokosykli 44. asteen tavallisessa differentiaalikohomologiassa

      • luonnollisesti/historiallisesti toteutettuna kokosyklinä ?echâDeligne-kokyklinä

        H^âH(X,B¯ 3U(1)) \hat H \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}^3 U(1))

        käyttämällä supergravitaation D’Auria-Fre-formulointia se voidaan ajatella myös Cartan-Ehresmannin â-kytkennän antamana ei-abeliaanisena differentiaalisena kookosylinä

    • kentän voimakkuus: HâΩ 4(X)H \in \Omega^4(X) âGG-kenttäâ â heteroottisessa supergravitaatiossa tämä on 5-kalvon magneettivirta kierrettyyn Kalb-Ramond-kenttään

    • paralletransportti: mittasuhdevuorovaikutuksen kappale sähköisesti varautuneen kvanttikvantti-3-hiukkasen (kalvon) toimintafunktio.

  • RR-kenttä

    • kosykli differentiaalisessa K-teoriassa

      • ei-triviaalin Kalb-Ramond-kentän läsnäollessa: kookykli differentiaalisessa kieroutuneessa K-teoriassa
    • kentän voimakkuus: RR-muodot

  • kuitukimput fysiikassa

  • gauge

  • gauge-ryhmä

  • gauge-muunnos, korkeampi mittatransformaatio

  • BRST-kompleksi, BV-BRST-formalismi

  • haamukenttä, mallit ja komponentit

    .

    fysiikka differentiaaligeometria differentiaalikohomologia
    mittauskenttä yhteys nipussa kookosykli differentiaalikohomologiassa.
    instantoni/varaus-sektori pääkimppu kokisykli peruskohomologiassa
    mittauspotentiaali paikallinen kytkentädifferentiaalimuoto paikallinen kytkentädifferentiaali muoto
    kentän voimakkuus kurvallisuus perusjoukko de Rham -kohomologiassa
    mittaustransformaatio ekvivalenssi coboundary
    minimaalinen kytkentä kovariantti derivaatta kierretty kohomologia
    BRST-kompleksi modulipinon Lie-algebroidi modulipinon Lie-algebroidi
    laajennettu Lagrangian yleismaailmallinen Chernin-Simonsin n-kimppu universaali ominaiskartta

    • korkeampi U(1)-kaariteoria

      • korkeampi sähköinen taustavarauksen kytkentä

    • itse-duaali korkeampi mittateoria

    • korkeampi spin-mittateoria

    • kvanttianomalia

      • Green-Schwarzin mekanismi

    • infinity-Chern-Simonsin teoria

    • vapaakenttäteoria

    Yleinen

    Yleisen oppikirjan tilitykset:

    • Mike Guidry, Gauge Field Theories: An Introduction with Applications, Wiley 2008 (ISBN:978-3-527-61736-4)

    • Mikio Nakahara, Section 10.5 of: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

    Basics on fiber bundles in physics are recalled in

    • Adam Marsh, Gauge Theories and Fiber Bundles: Definitions, Pictures, and Results (arXiv:1607.03089)

    Johdatus mittateorioiden kvantittamisen käsitteisiin on teoksessa

    • Nicolai Reshitikhin, Lectures on quantization of gauge systems (pdf)

    Standardioppikirja BV-BRST formalismista mittasysteemien kvantittamiseksi on teoksessa

    • Marc Henneaux, Claudio Teitelboim, Quantization of Gauge Systems Princeton University Press, 1992

    Kattavat luentomuistiinpanot tästä ovat osoitteessa

    • geometry of physics â perturbative quantum field theory.

    Keskustelu abeliaanisesta korkeammasta hilateoriasta differentiaalikohomologian kannalta on teoksessa

    • Dan Freed, Dirac charge quantization and generalized differential cohomology

    • Alessandro Valentino, Differential cohomology and quantum gauge fields (pdf)

    • José Figueroa-O’Farrill, Gauge theory (web page)

    • Tohru Eguchi, Peter Gilkey, Andrew Hanson, Gravitation, gauge theories and differential geometry (pdf)

    • Pysikaaliset raportit 66:6 (1980) 213â393 (pdf)

    Keskustelusta gravitaation yhteydessä katso myös

    • Edward Witten, Symmetry and Emergence (arXiv:1710.01791)

    AQFT:ssä

    Vakiokeskustelua ulottumateoriasta algebrallisen kvanttikenttäteorian (AQFT) yhteydessä käydään muun muassa

    • Franco Strocchin kappaleessa 4 teoksessa Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory (Relativistinen kvanttimekaniikka ja kenttäteoria), Found.Phys. 34 (2004) 501-527 (arXiv:hep-th/0401143)

    Käyrillä avaruusavaruuksilla toimivaa AQFT:tä varten AQFT:n aksioomat on vietävä korkeamman geometrian kontekstiin, ellei lokaalisuutta rikota, ks. ekspositiot osoitteessa

    • Higher field bundles for gauge fields

    • Alexander Schenkel, On the problem of gauge theories

      in locally covariant QFT_, talk at Operator and Geometric Analysis on Quantum Theory Trento, 2014 (web)

    This was established in

    • Marco Benini, Claudio Dappiaggi, Alexander Schenkel, Quantized Abelian principal connections on Lorentzian manifolds, Communications in Mathematical Physics 2013 (arXiv:1303.2515)

    ja ohjelmaan AQFT:n aksioomien parantaminen kaarevilla avaruusavaruuksilla stacky-kontekstiin, jotta se mahtuisi mittateoriaan, kuuluvat seuraavat artikkelit:

    • Marco Benini, Alexander Schenkel, Richard Szabo, Homotopy colimits and global observables in Abelian gauge theory (arXiv:1503.08839)

    • Marco Benini, Alexander Schenkel, Quantum field theories on categories fibered in groupoids (arXiv:1610.06071)

    • Marco Benini, Alexander Schenkel, Urs Schreiber, The stack of Yang-Mills fields on Lorentzian manifolds (arXiv:1704.01378)

    Dualiteetit

    Esitys suhteesta geometriseen Langlandsin dualiteettiin on teoksessa

    • Edward Frenkel, Gauge theory and Langlands duality (pdf)

    Historia

    Keskustelua âgaugeâ:sta ja Gauge-muunnoksesta metafysiikassa on teoksessa

    • Georg Hegel, §714 of Science of Logic, 1812

    Hermann Weylân historiallinen argumentti, joka motivoi pituusteoriaa fysiikassa pituusyksiköiden uudelleen skaalaamisesta, on esitetty vuonna 1918 teoksessa

    • Hermann Weyl, Raum, Zeit, Materie: Vorlesungen über die Allgemeine Relativitätstheorie, Springer Berlin Heidelberg 1923

      Kustantamolle (Springer) pääsiäisenä 1918 toimitetun Weylin ensimmäisen matemaattista fysiikkaa käsittelevän kirjan, Space â Time â Matter (STM) (Raum â Zeit â Materie) käsikirjoitus ei sisältänyt Weylin uutta geometriaa ja ehdotusta UFT:stä. Se oli laadittu Zürichin teknillisessä korkeakoulussa (ETH) kesälukukaudella 1917 pidetyn kurssin luentomonisteista. Weyl sisällytti uudet havaintonsa vasta kirjan kolmanteen painokseen (1919). Englannin- ja ranskankieliset versiot (Weyl 1922b, Weyl 1922a), jotka on käännetty neljännestä tarkistetusta painoksesta (1921), sisälsivät lyhyen selostuksen Weylin yleistetystä metriikasta ja ajatuksen sähkömagnetismin mittakaavamittausteoriasta. (Scholz)

    See

    • Erhard Scholz, H. Weylâs ja E. Cartanâs proposals for infinitesimal geometry in the early 1920s (pdf)

    Early surveys include

    • John Iliopoulos, Progress in Gauge Theories, 1975 (spire:3000)

    Nopeita katsauksia ovat muun muassa

    • Quigley, On the origins of gauge theory (pdf)

    • Afriat, Weylâs gauge argument (pdf)

    Kattavampia historiallisia selostuksia ovat esimerkiksi

    • Lochlainn O’Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press (1997)

    • Lochlainn O’Raifeartaigh, Norbert Straumann, Gauge Theory: Historical Origins and Some Modern Developments Rev. Mod. Phys. 72, 1-23 (2000).

    • Norbert Straumann, Early History of Gauge Theories and Weak Interactions (arXiv:hep-ph/9609230)

    • Norbert Straumann, Gauge principle and QED, talk at PHOTON2005, Warsaw (2005) (arXiv:hep-ph/0509116)

By: adminPosted on

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista.