joka on (1â3) seskvilineaarinen ja (4) konjugatiivis-symmetrinen; ts:

1. â¨0,xâ©=0 \kulma 0, x \kulma = 0 ja â¨x,0â©=0 \kulma x, 0 \kulma = 0 ;
2. â¨x+y,zâ©=â¨x,zâ©+â¨y,zâ© \kulma x + y, z \kulma = \kulma x, z \kulma + \kulma y, z \rangle ja â¨x,y+zâ©=â¨x,yâ©+â¨x,zâ© \langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle ;
3. â¨cx,yâ©=c¯â¨x,yâ© \kulma c x, y \rangle = \bar{c} \pylväs x, y \rangle ja â¨x,cyâ©=câ¨x,yâ© \pylväs x, c y \rangle = c \pylväs x, y \rangle ;
4. â¨x,yâ©=â¨y,xâ©Â¯ \pylväs x, y \rangle = \overline{\pylväs y, x \rangle} .

Tässä käytämme fysiikan konventiota, että sisäinen tuote on konjugatiivis-lineaarinen ensimmäisessä muuttujassa eikä toisessa muuttujassa, eikä matemaatikon konventiota, joka on päinvastainen. Fyysikon konventio sopii hieman paremmin 22-Hilbertin tiloihin. Huomaa, että käytämme sisäisen tuotteen arvoina samaa kenttää kuin skalaareille; kompleksikonjugaatiolla ei ole merkitystä joillakin kenttävalinnoilla.

Yllä oleva aksioomaluettelo on melko turha. Ensinnäkin (1) seuraa (3):sta asettamalla c=0c = 0; lisäksi (1â3) ovat pareittain, joista tarvitaan vain toinen, koska kumpikin puoli seuraa toisesta (4):n avulla. On jopa mahdollista johtaa (3) (2):sta olettamalla, että VV on topologinen vektoriavaruus ja että sisäinen tuote on jatkuva (mikä, kuten tulemme näkemään, pätee joka tapauksessa aina Hilbert-avaruudelle).

Seuraavaksi määriteltävä käsite on (puoli)lopullisuus. Määrittelemme funktion âââ 2:Vââ\|{-}\|^2: V \to \mathbb{C} seuraavasti: âxâ 2=â¨x,xâ©\|x\|^2 = \nurkka x, x \nurkka; itse asiassa âââ 2\|{-}\|^2 ottaa vain reaaliarvoja, (4) mukaan. * Sisäinen tuote on positiivinen semidefiniittinen tai yksinkertaisesti positiivinen, jos âxâ 2â¥0\|x\|^2 \geq 0 aina. * Huomaa, että (1) mukaan âxâ 2=0\|x\|^2 = 0, jos x=0x = 0; sisäinen tuote on definiittinen, jos päinvastoin. * Sisätuote on positiivisesti definiittinen, jos se on sekä positiivinen että definiittinen. * Sivuhuomautuksena mainittakoon, että on olemassa myös negatiivisia (puoli)definiittisiä sisäisiä tuotteita, jotka ovat hieman vähemmän käteviä, mutta eivät oikeastaan eroa toisistaan. Sisätuote on epämääräinen, jos jotkut âxâ 2\|x\|^2 ovat positiivisia ja jotkut negatiivisia; näillä on hyvin erilainen maku.

Sisätuote on täydellinen, jos minkä tahansa äärettömän sarjan (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) ollessa sellainen, että

on olemassa (välttämättä ainutkertainen) summa SS siten, että

Jos sisäinen tuote on definiittinen, niin tämän summan, jos se on olemassa, täytyy olla yksikäsitteinen, ja kirjoitamme

(oikeanpuoleinen puoli on määrittelemätön, jos sellaista summaa ei ole olemassa).

Tällöin Hilbert-avaruus on yksinkertaisesti vektoriavaruus, joka on varustettu täydellisellä positiivisesti definiittisellä sisäisellä tuotteella.

Hilbert-avaruudet Banach-avaruuksina

Jos sisäinen tuote on positiivinen, niin voimme ottaa âxâ 2=â¨x,xâ©\|x\|^2 = \kulma x, x \kulma saadaksemme reaaliluvun âxâ\|x\|, xx:n normin.

Tämä normi täyttää kaikki Banach-avaruuden vaatimukset. Lisäksi se täyttää parallelogrammilain

jota kaikkien Banach-avaruuksien ei tarvitse täyttää. (Tämän lain nimi tulee sen geometrisesta tulkinnasta: vasemmanpuoleiset normit ovat parallelogrammin lävistäjien pituuksia, kun taas oikeanpuoleiset normit ovat sivujen pituuksia.)

Seuraavasti, millä tahansa parallelogrammilain täyttävällä Banach-avaruudella on ainutkertainen sisäinen tuote, joka toistaa normin, joka määritellään

tai 12(âx+yâ 2ââxâyâ 2)\frac{1}{2}(\|x + y\|^2 – \|x – y\|^2) reaalitapauksessa.

Siten voidaan määritellä Hilbert-avaruus Banachin avaruudeksi, joka täyttää parallelogrammilain. Tämä toimii itse asiassa hieman yleisemmin; positiivinen semidefiniittinen sisäinen tuoteavaruus on pseudonormitettu vektoriavaruus, joka täyttää parallelogrammilain. (Emme kuitenkaan voi palauttaa epämääräistä sisäistä tuotetta normista.)

Hilbert-avaruudet metrisinä avaruuksina

Jossain positiivisessa semidefiniittisessä sisäisen tuotteen avaruudessa olkoon etäisyys d(x,y)d(x,y)

Tällöin dd on pseudometrinen; se on täydellinen metriikka, jos ja vain jos meillä on Hilbert-avaruus.

Itse asiassa Banach-avaruuden (tai pseudonormitetun vektoriavaruuden) aksioomat voidaan kirjoittaa kokonaan metriikan avulla; voimme myös esittää parallelogrammilain seuraavasti:

Määritelmissä lienee tavallisinta nähdä, että metriikka otetaan käyttöön vain täydellisyysvaatimuksen toteamiseksi. Itse asiassa (1) sanoo, että osasummien sarja on Cauchyn sarja, kun taas (2) sanoo, että osasummien sarja konvergoi SS:ään.

Hilbert-avaruudet konformisina avaruuksina

Edetään kaksi vektoria xx ja yy, jotka molemmat ovat nollasta poikkeavia, olkoon niiden välinen kulma kulma θ(x,y)\theta(x,y), jonka kosini on

(Huomaa, että tämä kulma voi olla imaginäärinen yleensä, mutta ei Hilbert-avaruudessa yli â\mathbb{R}.)

Hilbert-avaruutta ei kuitenkaan voida rekonstruoida kokonaan sen kulmista (vaikka annettaisiin taustalla oleva vektoriavaruus). Sisäinen tuote voidaan palauttaa vain positiiviseen asteikkokertoimeen asti.

Hilbert-avaruuksien morfismit

Vrt. keskustelu kohdassa Banachin avaruus. Tässä on lisää sanottavaa duaaleista (mm. miksi Hilbert-avaruuksien teoria on hieman mukavampaa â\mathbb{C}:n yllä, kun taas Banach-avaruuksien teoria on hieman mukavampaa â\mathbb{R}:n yllä).

Esimerkkejä

Banach-avaruudet

Kaikki Banach-avaruuden pp-parametrisoidut esimerkit pätevät, jos otetaan p=2p = 2.

Etenkin nn-ulotteinen vektoriavaruus â n\mathbb{C}^n on kompleksinen Hilbert-avaruus, jossa

Mikä tahansa â\mathbb{C}:n alakenttä KK antaa positiivisesti definiittisen sisäisen tuoteavaruuden K nK^n, jonka täydennys on joko â n\mathbb{R}^n tai â n\mathbb{C}^n. Erityisesti karteesiavaruus â n\mathbb{R}^n on reaalinen Hilbert-avaruus; edellä määritellyt etäisyyden ja kulman geometriset käsitteet vastaavat tavallista euklidista geometriaa tämän esimerkin osalta.

Lebesguen neliöintegroituvista funktioista moninaisuuden yli

L- Hilbert-avaruudet L 2(â)L^2(\mathbb{R}), L 2()L^2(), L 2(â 3)L^2(\mathbb{R}^3) jne (reaaliset tai kompleksiset) tunnetaan hyvin hyvin. Yleisesti ottaen L 2(X)L^2(X), kun XX on mitta-avaruus, koostuu lähes kaikkialla määritellyistä funktioista ff XX:stä skalaarikenttään (â\mathbb{R} tai â\mathbb{C}), jotka ovat sellaisia, että â”|f| 2 \int |f |f|^2 konvergoituu äärelliseen lukuarvoon, jolloin funktiot ovat identtisiä, jos ne ovat yhtä suuria lähes kaikkialla; meillä on â¨f,gâ©=â ”f¯g\langle f, g\rangle = \int \bar{f} g, joka konvergoi CauchyâSchwarzin epätasa-arvon avulla. Luetelluissa erityistapauksissa (ja yleensä silloin, kun XX on paikallisesti kompakti Hausdorffin avaruus) voimme saada tämän avaruuden myös täydentämällä kompaktisti tuettujen jatkuvien funktioiden positiivisen definiittisen sisäisen tuotteen avaruuden.

Neliöintegroituvien puolitiheyksien

• kanoninen puolitiheyksien Hilbert-avaruus

ominaisuudet

perustat

Perustulos on se, että abstraktisti katsottuna Hilbert-avaruudet ovat kaikki saman tyyppisiä: Jokainen Hilbert-avaruus HH sallii ortonormaalin perustan eli osajoukon SâHS \subseteq H, jonka inkluusiokartta laajenee (välttämättä yksikäsitteisesti) isomorfismiksi

Hilbert-avaruuksien välillä. Tässä l 2(S)l^2(S) on vektoriavaruus, joka koostuu niistä funktioista xx SS:stä skalaarikenttään siten, että

muuntuu äärelliseksi luvuksi; tämä saadaan myös täydentämällä SS:n elementtien muodollisten lineaarikombinaatioiden vektoriavaruus sisäisellä tuotteella, joka määräytyy yksikäsitteisesti säännön

ssa, jossa δ uv uv \delta_{u v} tarkoittaa Kroneckerin deltaa. Meillä on siis l 2(S)l^2(S),

(Tämä summa konvergoi CauchyâSchwarzin epätasa-arvon avulla.)

Yleisesti tämä tulos käyttää todistuksessaan valinnan aksioomaa (yleensä Zornin lemman ja poissuljetun keskikohdan muodossa) ja on ekvivalentti sen kanssa. Erotettavia Hilbert-avaruuksia koskeva tulos tarvitsee kuitenkin vain riippuvaisen valinnan ja on siten useimpien koulujen standardien mukaan konstruktiivinen. Jopa ilman riippuvaista valintaa, eksplisiittiset orthornormaalit emäkset tietyille L 2(X)L^2(X) voidaan usein tuottaa käyttämällä identiteetin approksimointitekniikoita, usein yhdessä Gram-Schmidt-prosessin kanssa.

Erityisesti kaikki äärettömän moniulotteiset separoituvat Hilbert-avaruudet ovat abstraktisti isomorfisia l 2(â)l^2(\mathbb{N}) kanssa.

CauchyâSchwarzin epätasa-arvo

Schwarzin epätasa-arvo (tai CauchyâÐÑнÑковÑкийâSchwarzin epätasa-arvo jne.) on erittäin kätevä:

Tässä on oikeastaan kaksi teoreemaa (ainakin): abstrakti teoreema siitä, että epätasa-arvo pätee missä tahansa Hilbert-avaruudessa, ja konkreettinen teoreema siitä, että se pätee silloin, kun sisäinen tuote ja normi määritellään kaavoilla, joita käytettiin yllä olevissa esimerkeissä L 2(X)L^2(X) ja l 2(S)l^2(S). Konkreettiset lauseet pätevät myös funktioille, jotka eivät kuulu Hilbert-avaruuteen, ja todistavat siten, että sisäinen tuote konvergoi aina, kun normit konvergoivat. (Tämän konvergenssin konstruktiiviseen päättelyyn tarvitaan hieman vahvempi tulos; se löytyy Errett Bishopin kirjasta.)

• korjattu Hilbertin avaruus

• Hilbertin C-tähtimoduuli, Hilbertin bimoduuli

• Kählerin vektoriavaruus

Vakiokäsityksiä Hilbert-avaruuksista kvanttimekaniikassa ovat esimerkiksi

• John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.

  (saksa) Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Berliini, Saksa: Springer Verlag, 1932.

• George Mackey, The Mathematical Foundations of Quamtum Mechanics A

  Lecture-note Volume, ser. Matemaattisen fysiikan monografiasarja. Princeton university, 1963

• E. PrugoveÄki, Kvanttimekaniikka Hilbert-avaruudessa. Academic Press, 1971.