Jos polynomilla on vain yksi määrittelemätön (yksimuuttujainen polynomi), termit kirjoitetaan yleensä joko suurimmasta asteesta pienimpään (”laskevat potenssit”) tai pienimmästä asteesta suurimpaan (”nousevat potenssit”). Yksimuuttujainen polynomi x:ssä, jonka aste on n, on tällöin edellä esitetyssä yleisessä muodossa, jossa

cn ≠ 0, cn-1, …, c2, c1 ja c0

ovat vakioita, polynomin kertoimia.

Tässä termiä cnxn sanotaan johtavaksi termiksi ja sen kerrointa cn johtavaksi kertoimeksi; jos johtava kerroin on 1, yksimuuttujaista polynomia sanotaan moniseksi.

EsimerkkejäEdit

• Kompleksiset kvadraattiset polynomit

OminaisuudetEdit

Multiplikatiivisesti suljettuEdit

Kaikkien moniarvoisten polynomien joukko (tietyn (unitäärisen) renkaan A yli ja tietylle muuttujalle x) on suljettu kertolaskennan alaisena, koska kahden moniarvoisen polynomin johtotermien tulo on niiden tulon johtotermi. Siten moniset polynomit muodostavat polynomirenkaan A multiplikatiivisen puoliryhmän. Itse asiassa, koska vakiopolynomi 1 on moninen, tämä puoliryhmä on jopa monoidi.

Osittain järjestettyEdit

Jakautuvuusrelaation rajoitus kaikkien monisten polynomien joukkoon (annetun renkaan yli) on osittainen järjestys, ja tekee siten tästä joukosta posetin. Syynä on se, että jos p(x) jakaa q(x) ja q(x) jakaa p(x) kahdelle moniselle polynomille p ja q, niin p:n ja q:n täytyy olla yhtä suuret. Vastaava ominaisuus ei päde polynomeille yleensä, jos rengas sisältää muita käänteismuunnettavia alkioita kuin 1.

Polynomiyhtälön ratkaisutEdit

Muilta osin moniarvoisten polynomien ja niitä vastaavien moniarvoisten polynomiyhtälöiden ominaisuudet riippuvat ratkaisevasti kertoimirenkaasta A. Jos A on kenttä, jokaisella nollasta poikkeavalla polynomilla p on tarkalleen ottaen täsmälleen yksi siihen liittyvä moniarvoinen polynomi q: p jaettuna johtavalla kertoimellaan. Näin ollen mikä tahansa ei-triviaali polynomiyhtälö p(x) = 0 voidaan korvata vastaavalla moniasteisella yhtälöllä q(x) = 0. Esimerkiksi yleinen reaalinen toisen asteen yhtälö

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}

(jossa a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}

)

voidaan korvata seuraavalla yhtälöllä:

x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle \ x^{2}+px+q=0}

,

asettamalla p = b/a ja q = c/a. Näin ollen yhtälö

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}

on ekvivalenttinen monikon yhtälölle

x 2 + 3 2 x + 1 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}}x+{\frac {1}{2}}}=0.}

Yleinen kvadraattisen ratkaisun kaava on tällöin hieman yksinkertaistetussa muodossa:

x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) . {\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}\right).}

IntegralityEdit

Toisaalta, jos kertoimen rengas ei ole kenttä, on olennaisempia eroja. Esimerkiksi monisella polynomiyhtälöllä, jolla on kokonaislukukertoimet, ei voi olla rationaalisia ratkaisuja, jotka eivät ole kokonaislukuja. Näin ollen yhtälö

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle \ 2x^{2}+3x+1=0}

voi mahdollisesti olla jokin rationaalinen juuri, joka ei ole kokonaisluku, (ja muuten yksi sen juurista on -1/2); kun taas yhtälöillä

x 2 + 5 x + 6 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+5x+6=0}

ja

x 2 + 7 x + 8 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+7x+8=0}

voi olla vain kokonaislukuratkaisuja tai irrationaalisia ratkaisuja.

Kokonaislukukertoimen omaavien moniulotteisten polynomien juuria kutsutaan algebrallisiksi kokonaisluvuiksi.

Integraalisen alueen moniulotteisten polynomiyhtälöiden ratkaisut integraalialueen yläpuolella ovat tärkeitä integraalisten laajennusten ja integraalisten sulkeutuneiden alueiden teoriassa, ja näin ollen myös algebrallisessa lukuopissa. Oletetaan yleisesti, että A on integraalialue ja lisäksi integraalialueen B alirengas. Tarkastellaan B:n osajoukkoa C, joka koostuu niistä B:n alkioista, jotka tyydyttävät moniset polynomiyhtälöt yli A:n:

C := { b ∈ B : ∃ p ( x ) ∈ A , joka on moninen ja sellainen, että p ( b ) = 0 } . {\displaystyle C:=\{b\in B:\on olemassa \,p(x)\in A\,,{\hbox{ joka on moninen ja sellainen, että }}p(b)=0\}\,.}

joukko C sisältää A:n, koska mikä tahansa a ∈ A tyydyttää yhtälön x – a = 0. Lisäksi voidaan todistaa, että C on suljettu yhteenlaskussa ja kertolaskussa. Siten C on B:n alirengas. Rengasta C sanotaan A:n sulkeutumiseksi B:ssä; tai vain A:n integraaliseksi sulkeutumiseksi, jos B on A:n murtolukukenttä; ja C:n alkioiden sanotaan olevan integraaleja A:n suhteen. Jos tässä A = Z {\displaystyle A=\mathbb {Z} }

(kokonaislukujen rengas) ja B = C {\displaystyle B=\mathbb {C} }

(kompleksilukujen kenttä), niin C on algebrallisten kokonaislukujen rengas.

IrredusoituvuusEdit

Jos p on alkuluku, on äärellisen kentän G F ( p ) {\displaystyle \mathrm {GF} {\displaystyle \mathrm {GF } (p)}

, jolla on p elementtiä, on yhtä suuri kuin kaulaketjujen laskentafunktio N p ( n ) {\displaystyle N_{p}(n)}

.

Jos poistetaan rajoitus yksikäsitteisyydestä, tästä luvusta tulee ( p – 1 ) N p ( n ) {\displaystyle (p-1)N_{p}(n)}