Metrinen avaruus, matematiikassa, erityisesti topologiassa, abstrakti joukko, jolla on etäisyysfunktio, jota kutsutaan metriikaksi ja joka määrittelee ei-negatiivisen etäisyyden minkä tahansa kahden pisteensä välillä siten, että seuraavat ominaisuudet pätevät: (1) etäisyys ensimmäisestä pisteestä toiseen on yhtä suuri kuin nolla, jos ja vain jos pisteet ovat samat, (2) etäisyys ensimmäisestä pisteestä toiseen on yhtä suuri kuin etäisyys toisesta pisteestä ensimmäiseen, ja (3) ensimmäisen pisteen etäisyyden toisesta pisteestä toiseen ja toisen pisteen etäisyyden kolmannesta pisteestä kolmanteen summa on suurempi tai yhtä suuri kuin etäisyys ensimmäisestä pisteestä kolmanteen. Viimeistä näistä ominaisuuksista kutsutaan kolmion epätasa-arvoksi. Ranskalainen matemaatikko Maurice Fréchet aloitti metristen avaruuksien tutkimisen vuonna 1905.

Tavanomainen etäisyysfunktio reaalilukulinjalla on metrinen, samoin tavallinen etäisyysfunktio euklidisessa n-ulotteisessa avaruudessa. On myös eksoottisempia esimerkkejä, jotka kiinnostavat matemaatikkoja. Kun otetaan huomioon mikä tahansa pistejoukko, diskreetti metriikka määrää, että etäisyys pisteestä itseensä on 0, kun taas etäisyys kahden eri pisteen välillä on 1. Niin sanottu taksimetriikka euklidisessa tasossa ilmoittaa pisteen (x, y) ja pisteen (z, w) välisen etäisyyden olevan |x – z| + |y – w|. Tämä ”taksietäisyys” antaa vaaka- ja pystysuorista viivapätkistä muodostetun polun vähimmäispituuden pisteestä (x, y) pisteeseen (z, w). Analyysissä on useita hyödyllisiä metriikoita rajattujen reaaliarvoisten jatkuvien tai integroitavissa olevien funktioiden joukoille.

Siten metriikka yleistää tavallisen etäisyyden käsitteen yleisempiin asetuksiin. Lisäksi joukon X metriikka määrittää joukon X avointen joukkojen kokoelman eli topologian, kun X:n osajoukko U julistetaan avoimeksi, jos ja vain jos jokaiselle X:n pisteelle p on olemassa positiivinen (mahdollisesti hyvin pieni) etäisyys r siten, että kaikkien niiden X:n pisteiden joukko, joiden etäisyys p:stä on pienempi kuin r, sisältyy kokonaan U:han. Näin metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista.

Metrisen avaruuden sanotaan olevan täydellinen, jos jokainen pisteiden jakso, jossa termit ovat lopulta pareittain mielivaltaisen lähellä toisiaan (ns. Cauchyn jakso) konvergoi metrisen avaruuden pisteeseen. Tavallinen rationaalilukujen metriikka ei ole täydellinen, koska jotkut rationaalilukujen Cauchy-sekvenssit eivät konvergoi rationaalilukuihin. Esimerkiksi rationaalilukusarja 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, … konvergoi π:hen, joka ei ole rationaaliluku. Tavallinen reaalilukujen metriikka on kuitenkin täydellinen, ja lisäksi jokainen reaaliluku on rationaalilukujen Cauchy-sarjan raja-arvo. Tässä mielessä reaaliluvut muodostavat rationaalilukujen täydellisyyden. Saksalaisen matemaatikon Felix Hausdorffin vuonna 1914 antama todistus tästä seikasta voidaan yleistää osoittamaan, että jokaisella metrisellä avaruudella on tällainen täydellisyys.