Biografia
Leopold Kroneckerin vanhemmat olivat hyvin toimeentulevia, sillä hänen isänsä Isidor Kronecker oli menestyvä liikemies, kun taas hänen äitinsä Johanna Prausnitzer oli niin ikään varakkaasta perheestä. Perheet olivat juutalaisia, ja Kronecker noudatti tätä uskontoa aina vuotta ennen kuolemaansa, jolloin hän kääntyi kristinuskoon. Kroneckerin vanhemmat palkkasivat yksityisiä kotiopettajia opettamaan häntä siihen vaiheeseen asti, jolloin hän astui Liegnitzin Gymnasiumiin, ja tämä kotiopetus antoi Kroneckerille erittäin vankan perustan hänen koulutukselleen.
Kroneckerille opetti matematiikkaa Liegnitzin Gymnasiumissa Kummer, ja juuri Kummerin ansiosta Kronecker kiinnostui matematiikasta. Kummer tunnisti heti Kroneckerin lahjakkuuden matematiikassa, ja hän vei Kroneckeria paljon pidemmälle kuin mitä koulussa odotettiin, ja rohkaisi häntä tutkimustyöhön. Juutalaisesta kasvatuksestaan huolimatta Kronecker sai lukiossa luterilaista uskonnonopetusta, mikä varmasti osoittaa, että hänen vanhempansa olivat uskonnollisissa asioissa ennakkoluulottomia.
Kroneckerista tuli Berliinin yliopiston opiskelija vuonna 1841, ja siellä hän opiskeli Dirichletin ja Steinerin johdolla. Hän ei kuitenkaan rajoittunut matematiikan opiskeluun, sillä hän opiskeli myös muita aiheita, kuten tähtitiedettä, meteorologiaa ja kemiaa. Hän oli erityisen kiinnostunut filosofiasta opiskellen Descartesin, Leibnizin, Kantin, Spinozan ja Hegelin filosofisia teoksia. Vietettyään kesän 1843 Bonnin yliopistossa, jonne hän meni, koska hän oli kiinnostunut enemmän tähtitieteestä kuin matematiikasta, hän siirtyi talvikaudeksi 1843-44 Breslaun yliopistoon. Syy siihen, että hän meni Breslauhun, oli varmasti hänen kiinnostuksensa matematiikkaa kohtaan, koska hän halusi opiskella uudelleen vanhan koulunopettajansa Kummerin kanssa, joka oli nimitetty Breslaun oppituoliin vuonna 1842.
Kronecker vietti vuoden Breslaussa ennen kuin hän palasi Berliiniin talvilukukaudeksi 1844-45. Berliiniin palattuaan hän työsti Dirichlet’n valvonnassa algebrallisesta lukuteoriasta väitöskirjaansa. Monimutkaisia yksiköitä koskeva väitöskirja jätettiin 30. heinäkuuta 1845, ja hän suoritti tarvittavan suullisen kokeen 14. elokuuta. Dirichlet kommentoi väitöskirjaa sanomalla, että Kronecker osoitti siinä:-
… epätavallista syvällisyyttä, suurta ahkeruutta ja tarkkaa tietämystä korkeamman matematiikan nykytilasta.
Voi tulla yllätyksenä monille tohtoreille. opiskelijoille kuulla, että Kroneckeria kuulusteltiin suullisesti monista eri aiheista, kuten todennäköisyysteoriasta sovellettuna tähtitieteellisiin havaintoihin, määräisten integraalien teoriasta, sarjoista ja differentiaaliyhtälöistä sekä kreikan kielestä ja filosofian historiasta.
Jacobilla oli terveysongelmia, joiden vuoksi hän joutui jättämään Königsbergin, jossa hänellä oli professuuri, ja palaamaan Berliiniin. Eisenstein, jonka terveys oli myös heikko, luennoi Berliinissä näihin aikoihin, ja Kronecker oppi tuntemaan molemmat miehet hyvin. Se, mihin suuntaan Kroneckerin matemaattiset kiinnostuksen kohteet myöhemmin kehittyivät, liittyi paljolti Jacobin ja Eisensteinin vaikutukseen näihin aikoihin. Juuri kun näytti siltä, että Kronecker aloittaisi akateemisen uran, hän kuitenkin lähti Berliinistä hoitamaan perheasioita. Hän auttoi äitinsä veljen pankkiiriliikkeen johtamisessa, ja vuonna 1848 hän meni naimisiin tämän sedän tyttären Fanny Prausnitzerin kanssa. Hän hoiti myös perheen kartanoa, mutta löysi silti aikaa jatkaa matematiikan parissa työskentelyä, vaikkakin täysin omaksi ilokseen.
Kroneckerin ei varmastikaan tarvinnut ryhtyä palkkatyöhön, sillä hän oli nyt jo varakas mies. Hänen nautintonsa matematiikasta johti kuitenkin siihen, että kun olosuhteet muuttuivat vuonna 1855 eikä hänen enää tarvinnut asua Liegnitzin ulkopuolella sijaitsevalla kartanolla, hän palasi Berliiniin. Hän ei halunnut yliopiston virkaa, vaan hän halusi osallistua yliopiston matemaattiseen elämään ja tehdä tutkimusta vuorovaikutuksessa muiden matemaatikkojen kanssa.
Vuonna 1855 Kummer tuli Berliiniin täyttämään Dirichlet’n lähdettyä Göttingeniin vapautuneen viran. Borchardt oli luennoinut Berliinissä vuodesta 1848 lähtien, ja vuoden 1855 lopulla hän otti vastaan Crellen lehden toimituksen Crellen kuoltua. Vuonna 1856 Weierstrass tuli Berliiniin, joten vuoden kuluessa Kroneckerin paluusta Berliiniin Berliiniin oli Kummerin, Borchardtin, Weierstrassin ja Kroneckerin muodostama merkittävä tiimi Berliinissä.
Koska Kroneckerilla ei ollut yliopistollista nimitystä, hän ei tietenkään luennoinut tänä aikana, mutta hän oli huomattavan aktiivinen tutkimustyöntekijä, joka julkaisi nopeasti peräkkäin suuren määrän teoksia. Nämä koskivat lukuteoriaa, elliptisiä funktioita ja algebraa, mutta mikä tärkeämpää, hän tutki näiden aiheiden välisiä yhteyksiä. Kummer ehdotti Kroneckeria valittavaksi Berliinin akatemian jäseneksi vuonna 1860, ja Borchardt ja Weierstrass kannattivat ehdotusta. Tammikuun 23. päivänä 1861 Kronecker valittiin Akatemian jäseneksi, ja tästä oli yllättävä hyöty.
Berliinin Akatemian jäsenillä oli oikeus luennoida Berliinin yliopistossa. Vaikka Kronecker ei ollut yliopiston tai minkään muunkaan organisaation palveluksessa, Kummer ehdotti, että Kronecker käyttäisi oikeuttaan luennoida yliopistossa, ja niin hän teki lokakuusta 1862 alkaen. Aiheet, joista hän luennoi, liittyivät hyvin paljon hänen tutkimukseensa: lukuteoria, yhtälöteoria, determinanttien teoria ja integraaliteoria. Luennoillaan :-
Hän pyrki yksinkertaistamaan ja tarkentamaan olemassa olevia teorioita ja esittämään niitä uusista näkökulmista.
Luennot olivat parhaille opiskelijoille vaativia mutta innostavia. Hän ei kuitenkaan ollut suosittu opettaja keskiverto-opiskelijoiden keskuudessa :-
Kronecker ei houkutellut suuria opiskelijamääriä. Vain harvat hänen kuulijoistaan kykenivät seuraamaan hänen ajatustensa lentoja, ja vain harvat sinnittelivät lukukauden loppuun asti.
Berliini oli Kroneckerille niin houkutteleva, että kun hänelle tarjottiin Göttingenin matematiikan professuuria vuonna 1868, hän kieltäytyi siitä. Hän kuitenkin otti vastaan kunnianosoituksia, kuten valinnan Pariisin akatemian jäseneksi samana vuonna, ja monien vuosien ajan hänellä oli hyvät suhteet kollegoihinsa Berliinissä ja muualla. Ymmärtääksemme, miksi suhteet alkoivat huonontua 1870-luvulla, meidän on tarkasteltava tarkemmin Kroneckerin matemaattista panosta.
Olemme jo osoittaneet, että Kroneckerin ensisijainen panos oli yhtälöiden teoriassa ja korkeammassa algebrassa, ja hänen merkittävimmät panoksensa olivat elliptisten funktioiden, algebrallisten yhtälöiden teorian ja algebrallisten lukujen teorian alalla. Hänen tutkimiaan aiheita rajoitti kuitenkin se, että hän uskoi kaiken matematiikan pelkistämiseen argumentteihin, jotka sisältävät vain kokonaislukuja ja äärellisen määrän askeleita. Kronecker tunnetaan hyvin hänen huomautuksestaan:
Jumala loi kokonaisluvut, kaikki muu on ihmisen työtä.
Kronecker uskoi, että matematiikassa tulisi käsitellä vain äärellisiä lukuja ja äärellistä määrää operaatioita. Hän oli ensimmäinen, joka epäili ei-konstruktiivisten olemassaolotodistusten merkitystä. Näyttää siltä, että Kronecker vastusti 1870-luvun alkupuolelta lähtien irrationaalilukujen, ylä- ja alarajojen ja Bolzano-Weierstrassin lauseen käyttöä niiden ei-konstruktiivisen luonteen vuoksi. Toinen seuraus hänen matematiikkafilosofiastaan oli se, että Kroneckerin mielestä transsendentaalilukuja ei voinut olla olemassa.
Vuonna 1870 Heine julkaisi Crelle’s Journal -lehdessä artikkelin Trigonometriset sarjat, mutta Kronecker oli yrittänyt taivutella Heinestä perumaan artikkelin. Jälleen vuonna 1877 Kronecker yritti estää Cantorin työn julkaisemisen Crelle’s Journalissa, ei siksi, että hänellä olisi ollut henkilökohtaisia tunteita Cantoria kohtaan (kuten jotkut Cantorin elämäkertakirjoittajat ovat esittäneet), vaan pikemminkin siksi, että Kronecker uskoi Cantorin työn olevan merkityksetön, koska se todisti tuloksia matemaattisista kohteista, joita Kroneckerin mielestä ei ollut olemassa. Kronecker kuului Crelle’s Journalin toimituskuntaan, minkä vuoksi hänellä oli erityisen suuri vaikutus siihen, mitä kyseisessä lehdessä julkaistiin. Borchardtin kuoltua vuonna 1880 Kronecker otti Crelle’s Journalin päätoimittajana haltuunsa, ja hänen vaikutusvaltansa siihen, mitä artikkeleita julkaistaisiin, kasvoi.
Kummer ja Weierstrass olivat yhdessä perustaneet vuonna 1861 Berliinin matemaattisen seminaarin, ja Kummerin jäädessä eläkkeelle vuonna 1883 Kroneckerista tuli seminaarin apulaisjohtaja. Tämä lisäsi Kroneckerin vaikutusvaltaa Berliinissä. Kroneckerin kansainvälinen maine levisi myös, ja hänet valittiin Lontoon kuninkaallisen seuran ulkomaalaiseksi jäseneksi 31. tammikuuta 1884. Hän oli myös erittäin vaikutusvaltainen henkilö saksalaisen matematiikan piirissä :-
Hän loi muitakin yhteyksiä ulkomaisiin tiedemiehiin lukuisilla ulkomaanmatkoillaan ja tarjoamalla heille vieraanvaraisuutta berliiniläisessä kodissaan. Tästä syystä hänen neuvojaan pyydettiin usein matemaattisten professuurien täyttämisessä sekä Saksassa että muualla; hänen suosituksensa olivat luultavasti yhtä merkittäviä kuin hänen entisen ystävänsä Weierstrassin suositukset.
Vaikka Kroneckerin näkemys matematiikasta oli kollegojensa tiedossa koko 1870- ja 1880-luvun ajan, vasta vuonna 1886 hän julkisti nämä näkemykset. Tuona vuonna hän vastusti Dedekindin, Cantorin ja Heinen käyttämää irrationaalilukujen teoriaa ja esitti perustelut, joilla hän vastusti:-
… erilaisten käsitteiden käyttöönottoa, joiden avulla on viime aikoina usein yritetty (mutta ensimmäisenä Heine) käsittää ja vahvistaa ”irrationaalit” yleensä. Jopa äärettömän sarjan käsite, esimerkiksi sellaisen sarjan, joka kasvaa muuttujien määrättyjen potenssien mukaan, on mielestäni sallittu vain sillä varauksella, että jokaisessa erityistapauksessa, termien (tai kertoimien) muodostamisen aritmeettisten lakien perusteella, … on osoitettava pitävän paikkansa tietyt oletukset, jotka ovat sovellettavissa sarjoihin kuin äärellisiin lausekkeisiin ja jotka siten tekevät laajentamisen äärellisen sarjan käsitteen ulkopuolelle todella tarpeettomaksi.
Lindemann oli osoittanut, että π on transsendentaalinen vuonna 1882, ja vuonna 1886 pitämässään luennossa Kronecker kehui Lindemannia kauniista todisteesta, mutta, kuten hän väitti, todisteesta, joka ei todistanut mitään, koska transsendentaalisia lukuja ei ollut olemassa. Kronecker oli siis johdonmukainen argumenteissaan ja uskomuksissaan, mutta monet matemaatikot, jotka olivat ylpeitä kovalla työllä ansaitsemistaan tuloksista, tunsivat, että Kronecker yritti muuttaa matematiikan suuntaa ja kirjoittaa heidän tutkimuslinjansa pois tulevasta kehityksestä. Kronecker selitti ohjelmansa, joka perustui siihen, että hän tutki vain sellaisia matemaattisia objekteja, jotka voitiin konstruoida äärellisellä määrällä operaatioita kokonaisluvuista, vuonna 1887 ilmestyneessä teoksessa Über den Zahlbergriff Ⓣ.
Toinen Kroneckerin persoonallisuuden piirre oli se, että hänellä oli taipumus riitaantua henkilökohtaisesti niiden kanssa, joiden kanssa hän oli matemaattisesti eri mieltä. Koska hän uskoi, että oli olemassa vain äärellisesti rakennettavissa olevia matemaattisia objekteja, hän luonnollisesti vastusti täysin Cantorin kehittyviä ajatuksia joukko-opissa. Paitsi Dedekindin, myös Heinen ja Cantorin matematiikkaa ei voitu hyväksyä tämän ajattelutavan mukaisesti, ja Weierstrassille tuli myös tunne, että Kronecker yritti vakuuttaa seuraavan matemaatikkosukupolven siitä, että Weierstrassin analyysia koskevalla työllä ei ollut mitään arvoa.
Kroneckerilla ei ollut virallista asemaa Berliinissä ennen kuin Kummer jäi eläkkeelle vuonna 1883, jolloin hänet nimitettiin professuuriin. Vuoteen 1888 mennessä Weierstrass kuitenkin tunsi, ettei hän voinut enää työskennellä Kroneckerin kanssa Berliinissä, ja päätti lähteä Sveitsiin, mutta sitten, tajutessaan, että Kroneckerilla olisi vahva mahdollisuus vaikuttaa seuraajansa valintaan, hän päätti jäädä Berliiniin.
Kronecker oli hyvin pienikokoinen ja erittäin itsetietoinen pituudestaan. Esimerkki Kroneckerin reaktiosta tapahtui vuonna 1885, kun Schwarz lähetti hänelle tervehdyksen, joka sisälsi lauseen:-
Hän, joka ei kunnioita pienempää, ei ole suuremman arvoinen.
Tässä Schwarz vitsaili pienestä miehestä Kroneckerista ja suuresta miehestä Weierstrassista. Kronecker ei kuitenkaan nähnyt kommentin hauskoja puolia eikä ollut enää koskaan tekemisissä Schwarzin (joka oli Weierstrassin oppilas ja Kummerin vävy) kanssa. Toiset kuitenkin osoittivat enemmän hienotunteisuutta, ja esimerkiksi Helmholtz, joka toimi professorina Berliinissä vuodesta 1871 lähtien, onnistui pysymään hyvissä väleissä Kroneckerin kanssa.
Deutsche Mathematiker-Vereinigung perustettiin vuonna 1890, ja yhdistyksen ensimmäinen kokous järjestettiin Hallessa syyskuussa 1891. Huolimatta Cantorin ja Kroneckerin välisestä katkerasta vastakkainasettelusta Cantor kutsui Kroneckerin puhumaan tähän ensimmäiseen kokoukseen osoituksena kunnioituksesta yhtä saksalaisen matematiikan vanhimmista ja merkittävimmistä henkilöistä kohtaan. Kronecker ei kuitenkaan koskaan puhunut kokouksessa, sillä hänen vaimonsa loukkaantui vakavasti kiipeilyonnettomuudessa kesällä ja kuoli 23. elokuuta 1891. Kronecker eli vaimoaan vain muutamalla kuukaudella pidempään ja kuoli joulukuussa 1891.
Meidän ei pidä ajatella, että Kroneckerin näkemykset matematiikasta olivat täysin eksentrisiä. Vaikka oli totta, että useimmat hänen aikansa matemaatikot eivät olisi hyväksyneet näitä näkemyksiä, ja itse asiassa useimmat matemaatikot eivät nykyäänkään hyväksyisi niitä, niitä ei kuitenkaan sysätty syrjään. Kroneckerin ajatuksia kehittivät edelleen Poincaré ja Brouwer, jotka painottivat erityisesti intuitiota. Intuitionismi korostaa, että matematiikka on etusijalla logiikkaan nähden, matematiikan kohteet ovat matemaatikon mielessään rakentamia ja operoimia, eikä matemaattisten kohteiden ominaisuuksia ole mahdollista määritellä pelkästään asettamalla joukko aksioomia.