New Horizons -avaruusaluksen lähestyessä Plutoa se on saanut hienoja kuvia. Alla olevassa animaatiossa näkyy Pluto ja Charon niiden kiertäessä toisiaan.
Kun planeetalla (tai kääpiöplaneetalla) on satelliitti, sen liikkeen avulla voidaan määrittää planeetan massa. Se ei ole kovin vaikeaa. Käytetään itse asiassa yllä olevaa animaatiota Pluton massan arvioimiseen. Tarvitsemme vain yhden asian, jota ei ole videolla. Meidän on tiedettävä Charonin ja Pluton välinen etäisyys. Itse asiassa, jos tietäisin kameran kuvakulman, voisin saada kiertoradan etäisyyden kahden kohteen välisestä kulmaetäisyydestä. Tässä esimerkissä katson kuitenkin vain tämän arvon ja käytän Pluton ja Charonin etäisyydeksi 1,957 x 107 m.
Seuraavasti pari muuta huomautusta tästä Pluto-Charon-videosta.
- Kuvasekvenssissä näytetään, kun avaruusalus lähestyy Plutoa ja Charonia. Tämä tarkoittaa, että etäisyysasteikko muuttuu jokaisessa kuvassa.
- Tämä video on suhteutettu Charon-Pluton radan massakeskipisteeseen. Voit nähdä, että sekä Pluto että Charon kiertävät yhteistä keskipistettä.
- Me emme katso rataa täysin kohtisuorasta kulmasta. Tämä tarkoittaa, että Charon ei näytä liikkuvan ympyrässä (vaikka se periaatteessa liikkuu).
Perusfysiikka
Tässä ongelmassa tarvitsemme oikeastaan vain kahta fysiikan periaatetta – gravitaatiovoimaa ja ympyrässä liikkuvan kappaleen kiihtyvyyttä. Aloitetaan painovoimasta.
Gravitaatiovuorovaikutuksen malli sanoo, että on olemassa vetovoima, joka vetää puoleensa esineitä, joilla on massa. Tämän voiman suuruus on verrannollinen kahden vuorovaikutuksessa olevan kappaleen massojen tuloon ja kääntäen verrannollinen kappaleiden välisen etäisyyden neliöön. Voin kirjoittaa tämän voiman suuruuden seuraavasti:
G on pelkkä vakio, joten älä välitä siitä. Mutta on vielä yksi asia, joka on tärkeä. Gravitaatiovoima vetää aina kahta kohdetta yhteen ja on toisen kohteen suuntaan.
Toinen tärkeä ajatus on tarkastella ympyrässä liikkuvan kohteen kiihtyvyyttä – kyllä, sekä Pluto että Charon liikkuvat ympyrässä yhteisen keskipisteen ympäri. Tässä on kaavio (mutta ei mittakaavassa).
Jokainen ympyrässä liikkuva kappale (jopa vakionopeudella) kiihtyy. Tämän kiihtyvyyden suunta osoittaa kohti ympyrän keskipistettä ja sen suuruus riippuu sekä kulmanopeudesta että ympyrän säteestä. Tämä kiihtyvyys voidaan kirjoittaa seuraavasti:
Tässä ω on kappaleen kulmanopeus radiaaneina sekunnissa. Mutta on kai vielä yksi fysiikan asia, jota pitää tarkastella: voiman ja kiihtyvyyden välinen suhde. Yksinkertaisesti, mitä suurempi on kappaleeseen kohdistuva nettovoima, sitä suurempi on kiihtyvyys.
Nyt laitetaan kaikki yhteen. Voima on gravitaatiovoima ja kiihtyvyys johtuu ympyräliikkeestä. Siinä on yksi juju. Jos kirjoitan tämän Charonin liikkeelle niin gravitaatiovoima käyttää etäisyyttä Charonista Plutoon mutta kiihtyvyys käyttää etäisyyttä Charonista kiertoliikkeen keskipisteeseen. Selvyyden vuoksi sanon, että kohteiden välinen etäisyys on r ja Charonin kiertoradan säde on rc. Koska myös gravitaatiovoima (ainoa voima) on samansuuntainen kuin kiihtyvyys, voin kirjoittaa tämän skalaariyhtälönä.
Charonin massa kumoutuu, joten voin ratkaista Pluton massan.
Tarvitsen siis vain nämä kaksi etäisyyttä ja Charonin kiertoradan kulmanopeuden.
Arvojen löytäminen
Sanoin jo, että aion etsiä Pluton ja Charonin välisen etäisyyden. Tarvitsen kuitenkin etäisyyden Charonista rataympyrän keskipisteeseen. Hyppäämällä animaation ruutuja läpi löydän sen, jossa Charon ja Pluto ovat kauimpana toisistaan – tässä vaiheessa näen radan koko koon (ilman perspektiiviä). Käyttämällä tätä kuvaa ja Pluton ja Charonin etäisyyttä saan ympyrän kiertoradan säteeksi 1,69 x 107 m.
Nyt tarvitsen vain kiertoradan kulmanopeuden. Jos valitsen ruudun, jossa Charon on melkein Pluton yläpuolella ja sitten kun se on melkein Pluton alapuolella, se olisi puoli kiertorataa. Kun tarkastellaan kunkin kehyksen aikaleimoja, saadaan noin 3,2 päivää (276 480 sekuntia). Tämä antaisi kulmanopeudeksi:
Käyttämällä gravitaatiovakiota G = 6,67 x 10-11 N*m2/kg2 voin laittaa kaikki arvoni massan laskemiseksi. Murskaamalla luvut saan Pluton massaksi 1,24 x 1022 kg. BOOM. Tämä on melko lähellä 22Wikipediassa mainittua arvoa, joka on 1,3 x 1022. Pidän tätä tarpeeksi lähellä, jotta se voidaan laskea voitoksi.
Mikä on Charonin massa? Voit käyttää tätä samaa ajatusta ja Pluton kiertoradan etäisyyttä ja saada massa-arvion. Se on sinulle kotitehtävä.
Numeerinen malli
Hauskuuden vuoksi tässä on numeerinen malli, joka näyttää Pluton ja Charonin liikkeen.
Ylläoleva koodi on trinket.iossa. Tämä tarkoittaa, että voit sekä katsoa koodia JA muuttaa koodia. Kokeile muuttaa planeettojen massoja ja katso mitä tapahtuu. Huomaa, että jos kahden planeetan alkumomentit eivät summaudu nollavektoriin, massakeskipiste ei pysy paikallaan. Se on hauska juttu.