Idea

Una teoría de galgas puede denotar tanto una teoría de campos clásica como una teoría de campos cuántica cuyas configuraciones de campo son cociclos en cohomología diferencial (abeliana o no abeliana).

Teorías de galgas ordinarias

Una teoría de galgas ordinaria es una teoría de campos cuántica cuyas configuraciones de campo son haces vectoriales con conexión.

Esto incluye notablemente los campos que portan las tres fuerzas fundamentales del modelo estándar de la física de partículas:

• El electromagnetismo ordinario en ausencia de cargas magnéticas es una teoría gauge de haces vectoriales U(1)U(1) con conexión.

• Los campos de la teoría de Yang-Mills (como los que aparecen en el modelo estándar de la física de partículas y en las GUT) son haces vectoriales con conexión.

Otros ejemplos incluyen modelos físicos formales.

• La teoría de Dijkgraaf-Witten es una teoría gauge cuyas configuraciones de campo son haces GG-principales para GG un grupo finito (estos vienen con una conexión única, por lo que en este caso simple la conexión no es un dato extra).

El grupo GG en estos ejemplos se llama el grupo gauge de la teoría.

Teorías de gauge superiores y generalizadas

Los ejemplos anteriores de campos de gauge consistían en cociclos en cohomología diferencial de grado 11.

De forma más general, una teoría de gauge superior es una teoría cuántica de campos cuyas configuraciones de campo son cociclos en cohomología diferencial más general, por ejemplo, cociclos de Deligne de grado superior o, de forma más general, cociclos en otros refinamientos diferenciales, como en la teoría K diferencial.

Esta generalización sí contiene física experimentalmente visible como

• La corriente magnética en electromagnetismo es un gerbo de haz con conexión, un cociclo de Deligne refinando un cociclo en cohomología de grado 33 de Eilenberg-MacLane: la carga magnética .

Pero toda una torre de teorías gauge superiores y generalizadas se hizo visible con el estudio de las teorías de supergravedad superiores,

• El campo de Kalb-Ramond es un gerbo de haz con conexión, un cociclo de Deligne con curvatura 3forma.

• El campo C de supergravedad es un cociclo de Deligne con curvatura de 4 formas.

• El campo RR es un cociclo en teoría K diferencial.

La gravedad como teoría (no) gauge

En la formulación de primer orden de la gravedad también la teoría de la gravedad se parece un poco a una teoría gauge. Sin embargo, hay una diferencia crucial. Lo que realmente ocurre aquí es la geometría de Cartan: el campo de la gravedad puede codificarse en un campo de vielbein, a saber, una estructura ortogonal en el haz tangente, por lo tanto como un ejemplo de una estructura G, y la libertad de torsión de esta estructura G puede codificarse mediante una conexión auxiliar, a saber, una conexión de Cartan, a menudo llamada la «conexión de espín» en este contexto. Por tanto, aunque en la formulación de la geometría de Cartan la gravedad se describe con muchos de los ingredientes de la geometría diferencial que también gobiernan la teoría gauge pura, no es exactamente lo mismo. En particular, hay una restricción en una conexión de Cartan, que en términos de campos vielbein es la restricción de que el vielbein (que es parte de la conexión de Cartan) es no degenerado, y por lo tanto realmente una «forma soldada». Tal restricción está ausente en una teoría gauge «genuina» como la teoría de Yang-Mills o la teoría de Chern-Simons.

Propiedades

No redundancia y localidad

A veces se ve la opinión expresada de que la simetría gauge es «sólo una redundancia» en la descripción de una teoría de la física, por ejemplo en que entre los observables son sólo los invariantes gauge los que son físicamente significativos.

Sin embargo, esta afirmación

Anomalías

En presencia de carga magnética (¿y entonces incluso en ausencia de anomalías de fermiones quirales?) el supuesto funcional de acción estándar para las teorías gauge superiores puede estar mal definido. El mecanismo de Green-Schwarz es un famoso fenómeno en cohomología diferencial por el que dicha anomalía cuántica se cancela frente a la dada por los fermiones quirales.

Lista de campos gauge y sus modelos

A continuación se intenta dar una visión general de alguna colección de campos gauge en física, sus modelos por cohomología diferencial y más detalles.

• Campo de Yang-Mills

  • Ciclo en cohomología diferencial no abeliana de mínimo grado

    • realizado originalmente en términos de cohomología diferencial?echycles

      F^âH(X,B¯G) \hat F \in \mathbf{H}(X, \bar \mathbf{B} G)

      con coeficientes en el groupoide de formas valoradas en álgebras de Lie,

      entonces tradicionalmente en términos de haces vectoriales con conexión

  • fuerza de campo que depende del grupo GG tenemos

    • G=U(1)G = U(1) – electromagnetismo (ver más abajo)

    • G=SU(2)ÃU(1)G = SU(2)\Nveces U(1) – fuerza del campo de fuerza electrodébil

    • G=SU(3)G = SU(3) – campo de fuerza nuclear fuerte

  • transporte paralelo: Líneas de Wilson

• campo electromagnético

  • cociclo en cohomología diferencial ordinaria de grado 22

    • realizado naturalmente/históricamente en términos de la presentación de Maxwell-Dirac como un cociclo en
      F^âH(X,B¯U(1)) \que F en \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B} U(1))

  • fuerza del campo: el campo eléctrico EE y el campo magnético BB, localmente en un punto xâXx \Nen X

    F=Eâ§dt+â 3B F = E \wedge d t + \star_3 B

  • en X=â 3{0}X = \mathbb{R}^3{0\}: clase subyacente en la cohomología integral cl(F^)âH(X,BU(1))âH 2(X,â¤)cl(\hat F) \Nen H(X,\mathbf{B} U(1)) \simeq H^2(X,\mathbb{Z}) es el transporte paralelo de carga magnética

  • : pieza de interacción gauge del funcional de acción de la partícula cuántica cargada eléctricamente

• campo de Kalb-Ramond

  • cociclo en cohomología diferencial ordinaria de grado-33

    • realizado naturalmente/históricamente en términos de

      • un cociclo en ?echâDeligne cocycle

        H^âH(X,B¯ 2U(1))\hat H \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}^2 U(1))

      • un bundle gerbe con conexión

  • fuerza de campo: HâΩ 3(X)H \in \Omega^3(X) el âHH-campoâ â en una membrana D esta es la corriente magnética para el campo de Yang-Mills en la brana

  • transporte paralelo: pieza de interacción gauge del funcional de acción de la partícula cuántica 2 cargada eléctricamente (la cuerda).

• Campo C de supergravedad

  • ciclo en cohomología diferencial ordinaria de grado-44

    • realizado naturalmente/históricamente en términos de como un cociclo en ?echâDeligne cocycle

      H^âH(X,B¯ 3U(1)) \hat H \in \mathbf{H}(X,\bar \mathbf{B}^3 U(1))

      utilizando la formulación D’Auria-Fre de la supergravedad también puede pensarse como un cocycle diferencial no abeliano dado por una conexión Cartan-Ehresmann â

  • : HâΩ 4(X)H \Nen \Omega^4(X) el âGG-campoâ â en la supergravedad heterótica esta es la corriente magnética de la 5-brana para el campo retorcido de Kalb-Ramond

  • transporte paralelo: pieza de interacción gauge del funcional de acción de la 3-partícula cuántica cargada eléctricamente (la membrana).

• Campo RR

  • Cocociclo en teoría K diferencial

    • en presencia de campo Kalb-Ramond no trivial: cociclo en teoría K diferencial retorcida

  • fuerza del campo: Formas RR

• Haces de fibras en física

• Gauge

• Grupo gauge

• Transformación gauge, transformación gauge superior

• complejo BRST, formalismo BV-BRST

• campo fantasma, campo fantasma de fantasma

• fijación gauge, fermión de fijación gauge, invariante gauge

• teoría gauge de celosía

• ambigüedad de Gribov

• teoría gauge de quiver

• teoría gauge U(1) superior

  • acompañamiento de carga eléctrica de fondo superior

• a sí mismo-teoría gauge dual superior

• teoría gauge de espín superior

• anomalía cuántica

  • Mecanismo Green-Schwarz

• Teoría de la infinidad-Chern-Simons

• Teoría del campo libre

General

Cuentas generales de libro de texto:

• Mike Guidry, Gauge Field Theories: An Introduction with Applications, Wiley 2008 (ISBN:978-3-527-61736-4)

• Mikio Nakahara, Sección 10.5 de: Geometry, Topology and Physics, IOP 2003 (doi:10.1201/9781315275826, pdf)

Los fundamentos de los haces de fibras en física se recuerdan en

• Adam Marsh, Gauge Theories and Fiber Bundles: Definiciones, imágenes y resultados (arXiv:1607.03089)

Una introducción a los conceptos en la cuantización de las teorías gauge está en

• Nicolai Reshitikhin, Lectures on quantization of gauge systems (pdf)

Un libro de texto estándar sobre el formalismo BV-BRST para la cuantización de los sistemas gauge está en

• Marc Henneaux, Claudio Teitelboim, Quantization of Gauge Systems Princeton University Press, 1992

Apuntes de clase completos sobre esto están en

• geometría de la física â teoría cuántica de campos perturbativa.

La discusión de la teoría gauge superior abeliana en términos de cohomología diferencial está en

• Dan Freed, Dirac charge quantization and generalized differential cohomology

• Alessandro Valentino, Differential cohomology and quantum gauge fields (pdf)

• José Figueroa-O’Farrill, Gauge theory (página web)

• Tohru Eguchi, Peter Gilkey, Andrew Hanson, Gravitation, gauge theories and differential geometry, Physics Reports 66:6 (1980) 213â393 (pdf)

Para la discusión en el contexto de la gravedad véase también

• Edward Witten, Symmetry and Emergence (arXiv:1710.01791)

En AQFT

La discusión estándar de la teoría gauge en el contexto de la teoría cuántica de campos algebraica (AQFT) incluye

• Franco Strocchi, sección 4 de Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, Found.Phys. 34 (2004) 501-527 (arXiv:hep-th/0401143)

Para AQFT en espacios-tiempo curvos, los axiomas de AQFT deben promoverse a un contexto de geometría superior, a menos que se rompa la localidad, véanse las exposiciones en

• Haces de campo superiores para campos gauge

• Alexander Schenkel, On the problem of gauge theories

  in locally covariant QFT_, charla en Operator and Geometric Analysis on Quantum Theory Trento, 2014 (web)

Esto se estableció en

• Marco Benini, Claudio Dappiaggi, Alexander Schenkel, Quantized Abelian principal connections on Lorentzian manifolds, Communications in Mathematical Physics 2013 (arXiv:1303.2515)

y el programa de mejora de los axiomas de AQFT en espacios-tiempo curvos al contexto stacky para acomodar la teoría gauge incluye los siguientes artículos:

• Marco Benini, Alexander Schenkel, Richard Szabo, Homotopy colimits and global observables in Abelian gauge theory (arXiv:1503.08839)

• Marco Benini, Alexander Schenkel, Quantum field theories on categories fibered in groupoids (arXiv:1610.06071)

• Marco Benini, Alexander Schenkel, Urs Schreiber, The stack of Yang-Mills fields on Lorentzian manifolds (arXiv:1704.01378)

Dualidades

Una exposición de la relación con la dualidad geométrica de Langlands se encuentra en

• Edward Frenkel, Gauge theory and Langlands duality (pdf)

Historia

Una discusión sobre el âgaugeâ y la transformación del gauge en la metafísica se encuentra en

• Georg Hegel, §714 de la Ciencia de la Lógica, 1812

El argumento histórico de Hermann Weyl que motiva la teoría gauge en la física a partir del reescalado de las unidades de longitud fue dado en 1918 en

• Hermann Weyl, Raum, Zeit, Materie: Vorlesungen über die Allgemeine Relativitätstheorie, Springer Berlin Heidelberg 1923

  El manuscrito del primer libro de Weyl sobre física matemática, Espacio â Tiempo â Materia (STM) (Raum â Zeit â Materie), entregado a la editorial (Springer) en Semana Santa de 1918, no contenía la nueva geometría de Weyl ni la propuesta de una UFT. Fue preparado a partir de los apuntes de un curso impartido en el semestre de verano de 1917 en el Instituto Politécnico (ETH) de Zürich. Weyl incluyó sus recientes descubrimientos sólo en la tercera edición (1919) del libro. Las versiones inglesa y francesa (Weyl 1922b, Weyl 1922a), traducidas de la cuarta edición revisada (1921), contenían una breve exposición de la métrica generalizada de Weyl y la idea de una teoría gauge de escala del electromagnetismo. (Scholz)

Ver

• Erhard Scholz, H. Weylâs y E. Cartanâs proposals for infinitesimal geometry in the early 1920s (pdf)

Early surveys include

• John Iliopoulos, Progress in Gauge Theories, 1975 (spire:3000)

Las revisiones rápidas incluyen

• Quigley, On the origins of gauge theory (pdf)

• Afriat, Weylâs gauge argument (pdf)

Entre los relatos históricos más completos se encuentran

• Lochlainn O’Raifeartaigh, The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press (1997)

• Lochlainn O’Raifeartaigh, Norbert Straumann, Gauge Theory: Historical Origins and Some Modern Developments Rev. Mod. Phys. 72, 1-23 (2000).

• Norbert Straumann, Early History of Gauge Theories and Weak Interactions (arXiv:hep-ph/9609230)

• Norbert Straumann, Gauge principle and QED, charla en PHOTON2005, Varsovia (2005) (arXiv:hep-ph/0509116)