Si un polinomio tiene una sola indeterminación (polinomio univariante), entonces los términos suelen escribirse de mayor grado a menor grado («potencias descendentes») o de menor grado a mayor grado («potencias ascendentes»). Un polinomio univariado en x de grado n toma entonces la forma general mostrada arriba, donde
cn ≠ 0, cn-1, …, c2, c1 y c0
son constantes, los coeficientes del polinomio.
Aquí el término cnxn se llama término principal, y su coeficiente cn el coeficiente principal; si el coeficiente principal es 1, el polinomio univariante se llama mónico.
EjemplosEditar
- Polinomios cuadráticos complejos
PropiedadesEditar
Multiplicativamente cerradoEditar
El conjunto de todos los polinomios mónicos (sobre un anillo (unitario) A dado y para una variable x dada) es cerrado bajo la multiplicación, ya que el producto de los términos principales de dos polinomios mónicos es el término principal de su producto. Así, los polinomios mónicos forman un semigrupo multiplicativo del anillo de polinomios A. En realidad, como el polinomio constante 1 es mónico, este semigrupo es incluso un monoide.
Ordenado parcialmenteEditar
La restricción de la relación de divisibilidad al conjunto de todos los polinomios mónicos (sobre el anillo dado) es un orden parcial, y por tanto hace que este conjunto sea un poset. La razón es que si p(x) divide a q(x) y q(x) divide a p(x) para dos polinomios mónicos p y q, entonces p y q deben ser iguales. La propiedad correspondiente no es cierta para los polinomios en general, si el anillo contiene elementos invertibles distintos de 1.
Soluciones de ecuaciones polinómicasEditar
En otros aspectos, las propiedades de los polinomios mónicos y de sus correspondientes ecuaciones polinómicas mónicas dependen crucialmente del anillo de coeficientes A. Si A es un campo, entonces todo polinomio no nulo p tiene exactamente un polinomio mónico asociado q: p dividido por su coeficiente principal. De esta manera, entonces, cualquier ecuación polinómica no trivial p(x) = 0 puede ser reemplazada por una ecuación mónica equivalente q(x) = 0. Por ejemplo, la ecuación general real de segundo grado
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}
(donde a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}
)
puede ser sustituida por
x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle \a^{2}+px+q=0}
,
sustituyendo p = b/a y q = c/a. Así, la ecuación
2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}
es equivalente a la ecuación mónica
x 2 + 3 2 x + 1 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+{frac {3}{2}}x+{frac {1}{2}=0.}
La fórmula general de solución cuadrática es entonces la forma ligeramente más simplificada de:
x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) . {\displaystyle x={frac {1}{2}}left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}right).}
IntegralityEdit
En cambio, si el anillo de coeficientes no es un campo, hay más diferencias esenciales. Por ejemplo, una ecuación polinómica mónica con coeficientes enteros no puede tener soluciones racionales que no sean enteras. Así, la ecuación
2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle \ 2x^{2}+3x+1=0}
puede tener alguna raíz racional, que no es un entero, (y por cierto una de sus raíces es -1/2); mientras que las ecuaciones
x 2 + 5 x + 6 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+5x+6=0}
y
x 2 + 7 x + 8 = 0 {\displaystyle \Nx^2}+7x+8=0}
sólo pueden tener soluciones enteras o irracionales.
Las raíces de los polinomios mónicos con coeficientes enteros se llaman enteros algebraicos.
Las soluciones de las ecuaciones polinómicas mónicas sobre un dominio integral son importantes en la teoría de las extensiones integrales y de los dominios integralmente cerrados, y por tanto para la teoría algebraica de los números. En general, supongamos que A es un dominio integral, y también un subringulo del dominio integral B. Consideremos el subconjunto C de B, formado por aquellos elementos de B, que satisfacen ecuaciones polinómicas mónicas sobre A:
C := { b ∈ B : ∃ p ( x ) ∈ A , que es mónico y tal que p ( b ) = 0 } . {\displaystyle C:={b en B:\\a que existe p(x)\a en A,,{\a que es monica y tal que }}p(b)=0\a,.}
El conjunto C contiene a A, ya que cualquier a ∈ A satisface la ecuación x – a = 0. Además, es posible demostrar que C es cerrado bajo adición y multiplicación. Por tanto, C es un subring de B. El anillo C se llama el de A en B; o simplemente el cierre integral de A, si B es el campo de fracciones de A; y se dice que los elementos de C son integrales sobre A. Si aquí A = Z {\displaystyle A=\mathbb {Z} }
(el anillo de los enteros) y B = C {\displaystyle B=\mathbb {C} }
(el campo de los números complejos), entonces C es el anillo de los enteros algebraicos.
IrreducibilidadEditar
Si p es un número primo, el número de polinomios irreducibles mónicos de grado n sobre un campo finito G F ( p ) {\displaystyle \mathrm {GF} (p)}
con p elementos es igual a la función contadora de collares N p ( n ) {\displaystyle N_{p}(n)}
.
Si se elimina la restricción de ser mónico, este número se convierte en ( p – 1 ) N p ( n ) {\displaystyle (p-1)N_{p}(n)}
