Paul Cohen (1934-2007)
Paul Cohen formó parte de una nueva generación de matemáticos estadounidenses inspirados por la afluencia de exiliados europeos durante los años de la Guerra. Él mismo era un inmigrante judío de segunda generación, pero era enormemente inteligente y extremadamente ambicioso. Gracias a su inteligencia y a su fuerza de voluntad, consiguió fama, riqueza y los mejores premios matemáticos.
Se formó en Nueva York, Brooklyn y la Universidad de Chicago, antes de conseguir una cátedra en la Universidad de Stanford. Llegó a ganar la prestigiosa Medalla Fields en matemáticas, así como la Medalla Nacional de la Ciencia y el Premio Memorial Bôcher en análisis matemático. Sus intereses matemáticos eran muy amplios, y abarcaban desde el análisis matemático y las ecuaciones diferenciales hasta la lógica matemática y la teoría de los números.
A principios de la década de 1960, se aplicó seriamente a la primera de las 23 listas de problemas abiertos de Hilbert, la hipótesis del continuo de Cantor, es decir, si existe o no un conjunto de números mayor que el conjunto de todos los números naturales (o enteros) pero menor que el conjunto de los números reales (o decimales). Cantor estaba convencido de que la respuesta era «no», pero no fue capaz de demostrarlo satisfactoriamente, y tampoco lo hizo nadie más que se haya aplicado al problema desde entonces.
Una de las varias formulaciones alternativas de los axiomas de Zermelo-Fraenkel y del axioma de elección
Desde Cantor se habían hecho algunos progresos. Entre aproximadamente 1908 y 1922, Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel desarrollaron la forma estándar de la teoría axiomática de conjuntos, que se convertiría en el fundamento más común de las matemáticas, conocida como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF, o, modificada por el Axioma de Elección, como ZFC).
Kurt Gödel demostró en 1940 que la hipótesis del continuo es consistente con ZF, y que la hipótesis del continuo no puede ser refutada a partir de la teoría de conjuntos estándar de Zermelo-Fraenkel, incluso si se adopta el axioma de elección. La tarea de Cohen, entonces, era demostrar que la hipótesis del continuo era independiente de ZFC (o no), y específicamente demostrar la independencia del axioma de elección.
Técnica de forzamiento
La extraordinaria y atrevida conclusión de Cohen, a la que llegó utilizando una nueva técnica desarrollada por él mismo llamada «forzamiento», fue que ambas respuestas podían ser ciertas, es decir, que la hipótesis del continuo y el axioma de elección eran completamente independientes de la teoría de conjuntos ZF. Así, podía haber dos matemáticas diferentes, internamente consistentes: una en la que la hipótesis del continuo fuera cierta (y no existiera tal conjunto de números), y otra en la que la hipótesis fuera falsa (y sí existiera un conjunto de números). La prueba parecía correcta, pero los métodos de Cohen, en particular su nueva técnica de «forzamiento», eran tan nuevos que nadie estaba realmente seguro hasta que Gödel dio finalmente su visto bueno en 1963.
Sus hallazgos fueron tan revolucionarios como los del propio Gödel. Desde entonces, los matemáticos han construido dos mundos matemáticos diferentes, uno en el que se aplica la hipótesis del continuo y otro en el que no, y las pruebas matemáticas modernas deben incluir una declaración en la que se indique si el resultado depende o no de la hipótesis del continuo.
La prueba de Cohen, que cambió el paradigma, le proporcionó fama, riqueza y premios matemáticos en abundancia, y se convirtió en uno de los principales profesores de Stanford y Princeton. Envalentonado por el éxito, decidió abordar el Santo Grial de las matemáticas modernas, el octavo problema de Hilbert, la hipótesis de Riemann. Sin embargo, acabó dedicando los últimos 40 años de su vida, hasta su muerte en 2007, al problema, aún sin resolución (aunque su planteamiento ha dado nuevas esperanzas a otros, incluido su brillante alumno, Peter Sarnak).
| << De vuelta a Weil | De vuelta a Robinson y Matiyasevich >> |