Idea

Dr. von Neumann, ich möchte gerne wissen, was ist denn eigentlich ein Hilbertscher Raum ? 1

Un espacio de Hilbert es una generalización (posiblemente) infinita de los espacios tradicionales de la geometría euclidiana en la que las nociones de distancia y ángulo siguen teniendo sentido. Esto se consigue mediante una operación algebraica, el producto interior, que generaliza el producto punto.

Los espacios de Hilbert se hicieron famosos para el mundo en general gracias a sus aplicaciones a la física, donde organizan los estados puros de los sistemas cuánticos.

Los espacios de Hilbert forman una categoría, Hilb.

Véase también

• un tratamiento elemental de los espacios de Hilbert.

Definiciones

Sea VV un espacio vectorial sobre el campo de los números complejos. (Se puede generalizar un poco la elección del campo.) Un producto interior (en el sentido más general, posiblemente indefinido) sobre VV es una función

que es (1â3) sesquilíneo y (4) conjugado-simétrico; es decir:

1. â¨0,xâ©=0 \Nlugar 0, x \Nrangle = 0 y â¨x,0â©=0 \Nlugar x, 0 \Nrangle = 0 ;
2. â¨x+y,zâ©=â¨x,zâ©+â¨y,zâ© \langle x + y, z \rangle = \langle x, z \langle + \langle y, z y â¨x,y+zâ©=â¨x,yâ©+â¨x,zâ© \N-Ángulo x, y + z \N-Ángulo = \N-Ángulo x, y \N-Ángulo + \N-Ángulo x, z;
3. â¨cx,yâ©=c¯â¨x,yâ© \langle c x, y \rangle = \bar{c} \N-Ángulo x, y \N-Ángulo y â¨x,cyâ©=câ¨x,yâ© \N-Ángulo x, c y \N-Ángulo = c \N-Ángulo x, y \N-Ángulo ;
4. â¨x,yâ©=â¨y,xâ©Â¯ \N-Ángulo x, y \N-Ángulo = \N-Ángulo y, x \N-Ángulo .

Aquí utilizamos la convención del físico de que el producto interior es conjugado-lineal en la primera variable y no en la segunda, en lugar de la convención del matemático, que es la inversa. La convención de los físicos encaja un poco mejor con los espacios de 22 Hilbert. Nótese que utilizamos el mismo campo como valores del producto interior que para los escalares; la conjugación compleja será irrelevante para algunas elecciones de campo.

La lista de axiomas anterior es bastante redundante. En primer lugar, (1) se deduce de (3) estableciendo c=0c = 0; además, (1â3) vienen en pares, de los cuales sólo se necesita uno, ya que cada mitad se deduce de la otra utilizando (4). Incluso es posible derivar (3) de (2) suponiendo que VV es un espacio vectorial topológico y que el producto interior es continuo (lo cual, como veremos, es siempre cierto de todos modos para un espacio de Hilbert).

El siguiente concepto a definir es la (semi)definición. Definimos una función âââ 2:Vââ\|{-||^2: V \to \mathbb{C} por âxâ 2=â¨x,xâ©|x\|^2 = \langle x, x \gle; de hecho, âââ 2|{-}|^2 sólo toma valores reales, por (4). * El producto interior es semidefinido positivo, o simplemente positivo, si âxâ 2â¥0|x|^2 \geq 0 siempre. * Obsérvese que (por 1), âxâ 2=0|x\|^2 = 0 si x=0x = 0; el producto interior es definido si se cumple lo contrario. * Un producto interno es definido positivo si es a la vez positivo y definido. * También hay productos internos (semi)definidos negativos, que son un poco menos convenientes pero no son realmente diferentes. Un producto interior es indefinido si algunas âxâ 2\|x\|^2 son positivas y otras son negativas; éstas tienen un sabor muy diferente.

El producto interior es completo si, dada cualquier secuencia infinita (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) tal que

existe una suma (necesariamente única) SS tal que

Si el producto interior es definido, entonces esta suma, si existe, debe ser única, y escribimos

(con el lado derecho indefinido si no existe tal suma).

Entonces un espacio de Hilbert es simplemente un espacio vectorial dotado de un producto interior completo definido positivo.

Los espacios de Hilbert como espacios de Banach

Si un producto interno es positivo, entonces podemos tomar la raíz cuadrada principal de âxâ 2=â¨x,xâ©|x\|^2 = \langle x, x \rangle para obtener el número real âxâ|x\|, la norma de xx.

Esta norma satisface todos los requisitos de un espacio de Banach. Además, satisface la ley del paralelogramo

que no todos los espacios de Banach necesitan satisfacer. (El nombre de esta ley proviene de su interpretación geométrica: las normas del lado izquierdo son las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, mientras que las normas del lado derecho son las longitudes de los lados.)

Además, cualquier espacio de Banach que satsifica la ley del paralelogramo tiene un único producto interior que reproduce la norma, definido por

o 12(âx+yâ 2âxâyâ 2)\frac{1}{2}(|x + y\|^2 – |x – y\|^2) en el caso real.

Por lo tanto, es posible definir un espacio de Hilbert como un espacio de Banach que satisface la ley del paralelogramo. En realidad, esto funciona de forma un poco más general; un espacio de producto interno semidefinido positivo es un espacio vectorial pseudonormado que satisface la ley del paralelogramo. (No podemos, sin embargo, recuperar un producto interior indefinido a partir de una norma.)

Espacios de Hilbert como espacios métricos

En cualquier espacio de producto interior semidefinido positivo, dejemos que la distancia d(x,y)d(x,y) sea

Entonces dd es una pseudométrica; es una métrica completa si y sólo si tenemos un espacio de Hilbert.

De hecho, los axiomas de un espacio de Banach (o espacio vectorial pseudonormativo) pueden escribirse enteramente en términos de la métrica; también podemos enunciar la ley del paralelogramo como sigue:

En las definiciones, es probablemente más común ver la métrica introducida sólo para declarar el requisito de completitud. En efecto, (1) dice que la secuencia de sumas parciales es una secuencia de Cauchy, mientras que (2) dice que la secuencia de sumas parciales converge a SS.

Los espacios de Hilbert como espacios conformes

Dados dos vectores xx e yy, ambos distintos de cero, sea el ángulo entre ellos el ángulo θ(x,y)\theta(x,y) cuyo coseno es

(Obsérvese que este ángulo puede ser imaginario en general, pero no para un espacio de Hilbert sobre â\mathbb{R}.)

Sin embargo, un espacio de Hilbert no puede reconstruirse completamente a partir de sus ángulos (incluso dado el espacio vectorial subyacente). El producto interno sólo puede recuperarse hasta un factor de escala positivo.

Morfismos de espacios de Hilbert

Véase la discusión en Espacio de Banach. Hay más que decir aquí con respecto a los duales (incluyendo por qué la teoría de los espacios de Hilbert es ligeramente más agradable sobre â\mathbb{C} mientras que la de los espacios de Banach es ligeramente más agradable sobre â\mathbb{R}).

Ejemplos

Espacios de Banach

Todos los ejemplos pp-parametrizados en el espacio de Banach se aplican si se toma p=2p = 2.

En particular, el espacio vectorial nn-dimensional â n\mathbb{C}^n es un espacio de Hilbert complejo con

Cualquier subcampo KK de â\mathbb{C} da un espacio de producto interno definido positivo K nK^n cuya terminación es â n\mathbb{R}^n o â n\mathbb{C}^n. En particular, el espacio cartesiano â n\mathbb{R}^n es un espacio real de Hilbert; las nociones geométricas de distancia y ángulo definidas anteriormente concuerdan con la geometría euclidiana ordinaria para este ejemplo.

De las funciones cuadradas-integrables de Lebesgue sobre una variedad

Los espacios de Hilbert L 2(â)L^2(\mathbb{R}), L 2()L^2(), L 2(â 3)L^2(\mathbb{R}^3), etc (reales o complejos) son muy conocidos. En general, L 2(X)L^2(X) para XX un espacio de medidas consiste en las funciones ff definidas en casi todas partes desde XX al campo escalar (â\mathbb{R} o â\mathbb{C}) tales que â»|f| 2 \int |f|^2 convergen a un número finito, con funciones identificadas si son iguales en casi todas partes; tenemos que â¨f,gâ©=â «f¯g\langle f, g\rangle = \int \bar{f} g, que converge por la desigualdad de CauchyâSchwarz. En los casos específicos enumerados (y en general, cuando XX es un espacio de Hausdorff localmente compacto), también podemos obtener este espacio completando el espacio del producto interno definido positivo de las funciones continuas compactamente soportadas.

De semidensidades cuadradas-integrables

• Espacio de Hilbert canónico de semidensidades

Propiedades

Bases

Un resultado básico es que abstractamente, los espacios de Hilbert son todos del mismo tipo: cada espacio de Hilbert HH admite una base ortonormal, es decir, un subconjunto SâHS \subseteq H cuyo mapa de inclusión se extiende (necesariamente de forma única) a un isomorfismo

de espacios de Hilbert. Aquí l 2(S)l^2(S) es el espacio vectorial formado por aquellas funciones xx de SS al campo escalar tales que

convierte a un número finito; esto también puede obtenerse completando el espacio vectorial de combinaciones lineales formales de elementos de SS con un producto interior determinado unívocamente por la regla

en la que Î’ uv\delta_{u v} denota la delta de Kronecker. Tenemos, pues, en l 2(S)l^2(S),

(Esta suma converge por la desigualdad de CauchyâSchwarz.)

En general, este resultado utiliza el axioma de elección (normalmente en forma de lema de Zorn y medio excluido) en su demostración, y es equivalente a él. Sin embargo, el resultado para los espacios de Hilbert separables sólo necesita la elección dependiente y, por tanto, es constructivo según los estándares de la mayoría de las escuelas. Incluso sin elección dependiente, las bases ortonormales explícitas para L 2(X)L^2(X) particulares pueden producirse a menudo utilizando técnicas de aproximación de la identidad, a menudo en concierto con un proceso de Gram-Schmidt.

En particular, todos los espacios de Hilbert separables de dimensión infinita son abstractamente isomorfos a l 2(â)l^2(\mathbb{N}).

Desigualdad de CauchyâSchwarz

La desigualdad de Schwarz (o desigualdad de CauchyâÐѽÑковÑкийâSchwarz, etc) es muy útil:

Esto es realmente dos teoremas (al menos): un teorema abstracto de que la desigualdad se mantiene en cualquier espacio de Hilbert, y teoremas concretos de que se mantiene cuando el producto interior y la norma se definen mediante las fórmulas utilizadas en los ejemplos L 2(X)L^2(X) y l 2(S)l^2(S) anteriores. Los teoremas concretos se aplican incluso a funciones que no pertenecen al espacio de Hilbert y demuestran así que el producto interior converge siempre que las normas convergen. (Se necesita un resultado algo más fuerte para concluir esta convergencia de forma constructiva; puede encontrarse en el libro de Errett Bishop.)

• Espacio de Hilbert corregido

• Módulo C de Hilbert, bimódulo de Hilbert

• Espacio vectorial de Kähler

Las descripciones estándar de los espacios de Hilbert en la mecánica cuántica incluyen

• John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.

  (alemán) Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Berlín, Alemania: Springer Verlag, 1932.

• George Mackey, The Mathematical Foundations of Quamtum Mechanics A

  Lecture-note Volume, ser. La serie de monografías de física matemática. Princeton university, 1963

• E. PrugoveÄki, La mecánica cuántica en el espacio de Hilbert. Academic Press, 1971.