Contribución a las matemáticas
Napier dedicó la mayor parte de su tiempo libre al estudio de las matemáticas, en particular a idear métodos para facilitar el cálculo, y es con el mayor de ellos, los logaritmos, con el que se asocia su nombre. Comenzó a trabajar en los logaritmos probablemente ya en 1594, elaborando gradualmente su sistema de cálculo por el que las raíces, los productos y los cocientes podían determinarse rápidamente a partir de tablas que mostraban las potencias de un número fijo utilizado como base.
Sus contribuciones a esta poderosa invención matemática están contenidas en dos tratados: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descripción del maravilloso canon de los logaritmos), que se publicó en 1614, y Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (Construcción del maravilloso canon de los logaritmos), que se publicó dos años después de su muerte. En el primero, expuso los pasos que habían conducido a su invento.
Los logaritmos estaban destinados a simplificar los cálculos, especialmente los de multiplicación, como los necesarios en astronomía. Napier descubrió que la base de este cálculo era una relación entre una progresión aritmética -una secuencia de números en la que cada número se obtiene, siguiendo una progresión geométrica, del inmediatamente anterior multiplicando por un factor constante, que puede ser mayor que la unidad (p. ej, la secuencia 2, 4, 8, 16 … ) o menos que la unidad (por ejemplo, 8, 4, 2, 1, 1/2 … ).
En la Descriptio, además de dar cuenta de la naturaleza de los logaritmos, Napier se limitó a exponer el uso que se podía hacer de ellos. Prometió explicar el método de su construcción en una obra posterior. Se trata de la Constructio, que llama la atención por el uso sistemático en sus páginas del punto decimal para separar la parte fraccionaria de la integral de un número. Las fracciones decimales ya habían sido introducidas por el matemático flamenco Simon Stevin en 1586, pero su notación era poco manejable. El uso de un punto como separador aparece con frecuencia en la Constructio. El matemático suizo Joost Bürgi inventó de forma independiente, entre 1603 y 1611, un sistema de logaritmos que publicó en 1620. Pero Napier trabajó en los logaritmos antes que Bürgi y tiene la prioridad debido a su fecha anterior de publicación en 1614.
Aunque la invención de los logaritmos por parte de Napier eclipsa todos sus otros trabajos matemáticos, hizo otras contribuciones matemáticas. En 1617 publicó su Rabdologiae, seu Numerationis per Virgulas Libri Duo (Estudio de las varillas adivinadoras, o dos libros de numeración por medio de varillas, 1667); en él describió ingeniosos métodos de multiplicación y división de pequeñas varillas conocidos como huesos de Napier, un dispositivo que fue el precursor de la regla de cálculo. También hizo importantes contribuciones a la trigonometría esférica, especialmente al reducir el número de ecuaciones utilizadas para expresar las relaciones trigonométricas de 10 a 2 enunciados generales. También se le atribuyen ciertas relaciones trigonométricas -las analogías de Napier-, pero parece probable que el matemático inglés Henry Briggs haya participado en ellas.
Joseph Frederick Scott