Espacio métrico, en matemáticas, especialmente en topología, un conjunto abstracto con una función de distancia, llamada métrica, que especifica una distancia no negativa entre dos de sus puntos de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades: (1) la distancia del primer punto al segundo es igual a cero si y sólo si los puntos son iguales, (2) la distancia del primer punto al segundo es igual a la distancia del segundo al primero, y (3) la suma de la distancia del primer punto al segundo y la distancia del segundo punto a un tercero excede o es igual a la distancia del primero al tercero. La última de estas propiedades se denomina desigualdad del triángulo. El matemático francés Maurice Fréchet inició el estudio de los espacios métricos en 1905.
La función de distancia habitual en la recta numérica real es una métrica, al igual que la función de distancia habitual en el espacio euclidiano de n dimensiones. También hay ejemplos más exóticos de interés para los matemáticos. Dado cualquier conjunto de puntos, la métrica discreta especifica que la distancia de un punto a sí mismo es igual a 0, mientras que la distancia entre dos puntos distintos es igual a 1. La llamada métrica del taxi en el plano euclidiano declara que la distancia de un punto (x, y) a un punto (z, w) es |x – z| + |y – w|. Esta «distancia de taxi» da la longitud mínima de un camino de (x, y) a (z, w) construido a partir de segmentos de línea horizontales y verticales. En análisis hay varias métricas útiles sobre conjuntos de funciones continuas o integrables acotadas de valor real.
Así, una métrica generaliza la noción de distancia habitual a entornos más generales. Además, una métrica sobre un conjunto X determina una colección de conjuntos abiertos, o topología, sobre X cuando se declara que un subconjunto U de X es abierto si y sólo si para cada punto p de X existe una distancia positiva (posiblemente muy pequeña) r tal que el conjunto de todos los puntos de X de distancia menor que r desde p está completamente contenido en U. De este modo, los espacios métricos proporcionan importantes ejemplos de espacios topológicos.
Se dice que un espacio métrico es completo si cada secuencia de puntos en la que los términos están eventualmente pareados de forma arbitraria (una llamada secuencia de Cauchy) converge a un punto del espacio métrico. La métrica habitual sobre los números racionales no es completa, ya que algunas secuencias de Cauchy de números racionales no convergen a números racionales. Por ejemplo, la secuencia de números racionales 3, 3,1, 3,14, 3,141, 3,1415, 3,14159, … converge a π, que no es un número racional. Sin embargo, la métrica habitual sobre los números reales es completa y, además, todo número real es el límite de una secuencia de Cauchy de números racionales. En este sentido, los números reales forman la terminación de los números racionales. La prueba de este hecho, dada en 1914 por el matemático alemán Felix Hausdorff, puede generalizarse para demostrar que todo espacio métrico tiene dicha terminación.