A medida que la nave New Horizons se aproxima a Plutón, está obteniendo unas magníficas imágenes. La siguiente animación muestra a Plutón y Caronte mientras se orbitan mutuamente.
Cuando un planeta (o planeta enano) tiene un satélite, se puede utilizar el movimiento de ese objeto para encontrar la masa del planeta. No es demasiado difícil. De hecho, usemos la animación anterior para estimar la masa de Plutón. Bien, sólo necesitamos una cosa que no aparece en el vídeo. Necesitamos saber la distancia de Caronte a Plutón. En realidad, si conociera el campo de visión angular de la cámara, podría obtener la distancia orbital a partir de la separación angular entre los dos objetos. Sin embargo, para este ejemplo me limitaré a buscar este valor y utilizaré una distancia Plutón-Caronte de 1,957 x 107 m.
Además, un par de notas más sobre este vídeo de Plutón-Caronte.
- La secuencia de imágenes muestra a Plutón y Caronte a medida que la nave se acerca a los dos objetos. Esto significa que la escala de distancia cambia en cada fotograma.
- Este vídeo es relativo al centro de masa de la órbita de Caronte-Plutón. Se puede ver que tanto Plutón como Caronte están orbitando un centro común.
- No estamos viendo la órbita desde un ángulo completamente perpendicular. Esto significa que Caronte no parece moverse en un círculo (aunque esencialmente lo es).
Física básica
En realidad sólo hay dos principios físicos que necesitamos para este problema: la fuerza gravitatoria y la aceleración de un objeto que se mueve en un círculo. Empecemos con la gravedad.
El modelo para la interacción gravitatoria dice que existe una fuerza de atracción que tira de los objetos con masa. La magnitud de esta fuerza es proporcional al producto de las masas de los dos objetos que interactúan e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los objetos. Puedo escribir la magnitud de esta fuerza como:
La G es sólo una constante, así que no te preocupes por eso. Pero hay una cosa más que es importante. La fuerza gravitatoria siempre está tirando de los dos objetos juntos y está en la dirección del otro objeto.
La otra idea importante es considerar la aceleración de un objeto que se mueve en un círculo -sí, tanto Plutón como Caronte se están moviendo en un círculo alrededor de un centro común. Aquí hay un diagrama (pero no a escala).
Cualquier objeto que se mueva en un círculo (incluso a una velocidad constante) estará acelerando. La dirección de esta aceleración apuntará hacia el centro del círculo y tendrá una magnitud que depende tanto de la velocidad angular como del radio del círculo. Esta aceleración se puede escribir como:
Aquí la ω es la velocidad angular del objeto en radianes por segundo. Pero supongo que hay una cosa más de física que mirar: la relación entre fuerza y aceleración. Sencillamente, cuanto mayor es la fuerza neta sobre un objeto mayor es la aceleración.
Ahora a juntar todo. La fuerza es la gravitatoria y la aceleración es debida al movimiento circular. Hay una pega. Si escribo esto para el movimiento de Caronte entonces la fuerza gravitacional utilizará la distancia de Caronte a Plutón pero la aceleración utilizará la distancia de Caronte al centro del movimiento de rotación. Para que quede claro, llamaré r a la distancia entre los objetos y el radio de la órbita circular de Caronte será rc. Además, como la fuerza gravitatoria (la única fuerza) está en la misma dirección que la aceleración, puedo escribir esto como una ecuación escalar.
La masa de Caronte se cancela y así puedo resolver la masa de Plutón.
Así que todo lo que necesito son las dos distancias y la velocidad angular de la órbita de Caronte.
Búsqueda de valores
Ya dije que iba a buscar la distancia de Plutón a Caronte. Sin embargo, necesito la distancia de Caronte al centro del círculo orbital. Saltando a través de los fotogramas de la animación, puedo encontrar el que muestra a Caronte y Plutón más alejados -es en este punto donde puedo ver el tamaño completo de la órbita (sin perspectiva). Usando esta imagen y la distancia de Plutón a Caronte, obtengo un radio de órbita circular de 1,69 x 107 m.
Ahora sólo necesito la velocidad angular de la órbita. Si elijo un fotograma con Caronte casi por encima de Plutón y luego cuando está casi por debajo, sería media órbita. Mirando las marcas de tiempo en cada fotograma, esto daría un tiempo de unos 3,2 días (276,480 segundos). La velocidad angular sería:
Usando una constante gravitacional de G = 6,67 x 10-11 N*m2/kg2 puedo poner todos mis valores para calcular la masa. Haciendo números, obtengo una masa de Plutón de 1,24 x 1022 kg. BOOM. Esto se acerca bastante al valor que aparece en la 22Wikipedia con un valor de 1,3 x 1022. Considero que esto es lo suficientemente cerca como para contar como una victoria.
¿Qué pasa con la masa de Caronte? Puedes utilizar esta misma idea y la distancia orbital para la órbita de Plutón y obtener una estimación de la masa. Es una tarea para ti.
Modelo numérico
Sólo por diversión, aquí hay un modelo numérico que muestra el movimiento de Plutón y Caronte.
El código anterior está en trinket.io. Esto significa que puedes tanto mirar el código COMO cambiar el código. Prueba a cambiar las masas de los planetas y ver qué pasa. Fíjate en que si los momentos iniciales de los dos planetas no suman el vector cero, el centro de masa no permanece inmóvil. Es algo divertido.