Morrow viene de una familia de hockey. Su padre, Dave Morrow, jugó para los Racers de Indianápolis de la Asociación Mundial de Hockey.

Los Pittsburgh Penguins seleccionaron a Morrow en la primera ronda (número 23) del Draft de la NHL de 2011, pero nunca jugó un partido para ellos después de firmar el 3 de agosto de 2011.

Jugó una temporada más para Portland de la Liga de Hockey Occidental, terminando con 64 puntos (17 goles, 47 asistencias) en 62 partidos. Morrow pasó la mayor parte de la temporada 2012-13 con el Wilkes-Barre/Scranton de la Liga Americana de Hockey antes de ser traspasado a los Dallas Stars el 24 de marzo de 2013.

El 4 de julio de 2013, Morrow fue adquirido por los Boston Bruins como parte de un intercambio de ocho jugadores que envió al delantero Tyler Seguin a los Stars. Morrow debutó en la NHL con los Bruins el 30 de octubre de 2014 y marcó su primer gol en la NHL contra los Penguins el 24 de noviembre. Sin embargo, después de jugar tres partidos más, fue enviado a Providence de la AHL para el resto de la temporada.

Morrow jugó 33 partidos para los Bruins en 2015-16 y 17 en 2016-17 antes de firmar con los Montreal Canadiens como agente libre el 1 de julio de 2017. Estaba teniendo su mejor temporada ofensiva en la NHL (cinco goles, seis asistencias) en 38 partidos antes de ser adquirido por los Jets de Winnipeg el 26 de febrero de 2018.

Morrow tuvo cinco puntos (un gol, cuatro asistencias) en 18 partidos para los Jets. Se vistió para seis de sus 17 juegos en los Playoffs de la Copa Stanley, incluyendo el gol ganador en el Juego 1 de la Primera Ronda de la Conferencia Oeste contra los Minnesota Wild.

Los Jets firmaron a Morrow a un contrato de un año el 26 de junio de 2018.

Notas &Transacciones

• Equipo de la Primera Estrella del Oeste de la WHL (2012)
• Traspasado a Dallas por Pittsburgh con la selección de 5ª ronda de Pittsburgh (Matej Paulovic) en el Draft de la NHL de 2013 por Brenden Morrow y la selección de 3ª ronda de Minnesota (previamente adquirida, Pittsburgh seleccionó a Jake Guentzel) en el Draft de la NHL de 2013, 24 de marzo de 2013.
• Traspasado a Boston por Dallas con Loui Eriksson, Reilly Smith y Matt Fraser por Tyler Seguin, Rich Peverley y Ryan Button, 4 de julio de 2013.
• Firmó como agente libre por Montreal, 1 de julio de 2017.
• Traded to Winnipeg by Montreal for Winnipeg’s 4th round pick in 2018 NHL Draft, February 26, 2018.
• Signed as a free agent by New Jersey, October 6, 2019.