Paul Cohen (1934-2007)

Paul Cohen gehörte zu einer neuen Generation amerikanischer Mathematiker, die durch den Zustrom europäischer Exilanten während der Kriegsjahre inspiriert wurden. Er selbst war ein jüdischer Einwanderer der zweiten Generation, aber er war ungeheuer intelligent und äußerst ehrgeizig. Durch schiere Intelligenz und Willenskraft verschaffte er sich Ruhm, Reichtum und die wichtigsten mathematischen Preise.

Er wurde in New York, Brooklyn und an der Universität von Chicago ausgebildet, bevor er sich zu einer Professur an der Stanford University hocharbeitete. Er wurde mit der renommierten Fields-Medaille für Mathematik, der National Medal of Science und dem Bôcher-Gedächtnispreis für mathematische Analyse ausgezeichnet. Seine mathematischen Interessen waren sehr breit gefächert und reichten von mathematischer Analyse und Differentialgleichungen bis hin zu mathematischer Logik und Zahlentheorie.

In den frühen 1960er Jahren widmete er sich ernsthaft der ersten von Hilberts 23 Listen offener Probleme, der Cantor’schen Kontinuumshypothese, d. h. der Frage, ob es eine Zahlenmenge gibt, die größer ist als die Menge aller natürlichen (oder ganzen) Zahlen, aber kleiner als die Menge der reellen (oder Dezimal-) Zahlen. Cantor war davon überzeugt, dass die Antwort „nein“ lautet, konnte sie aber nicht zufriedenstellend beweisen, und auch kein anderer, der sich seither mit dem Problem befasst hat.

Eine von mehreren alternativen Formulierungen der Zermelo-Fraenkel-Axiome und des Axioms der Wahl

Seit Cantor waren einige Fortschritte gemacht worden. Zwischen etwa 1908 und 1922 entwickelten Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel die Standardform der axiomatischen Mengenlehre, die zur gebräuchlichsten Grundlage der Mathematik werden sollte, bekannt als Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie (ZF, oder, modifiziert durch das Axiom der Wahl, als ZFC).

Kurt Gödel zeigte 1940, dass die Kontinuumshypothese mit der ZF konsistent ist, und dass die Kontinuumshypothese von der Standard-Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie nicht widerlegt werden kann, selbst wenn das Auswahlaxiom angenommen wird. Cohens Aufgabe war es also, zu zeigen, dass die Kontinuumshypothese unabhängig von der ZF ist (oder auch nicht), und insbesondere die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms zu beweisen.

Forcing-Technik

Cohens außergewöhnliche und gewagte Schlussfolgerung, die er mit Hilfe einer neuen, von ihm selbst entwickelten Technik namens „Forcing“ zog, war, dass beide Antworten wahr sein könnten, d.h. dass die Kontinuumshypothese und das Auswahlaxiom völlig unabhängig von der ZF-Mengentheorie sind. Es könnte also zwei verschiedene, in sich konsistente Mathematiken geben: eine, in der die Kontinuumshypothese wahr ist (und es keine solche Zahlenmenge gibt), und eine, in der die Hypothese falsch ist (und es doch eine Zahlenmenge gibt). Der Beweis schien korrekt zu sein, aber Cohens Methoden, insbesondere seine neue Technik des „Forcierens“, waren so neu, dass niemand wirklich sicher war, bis Gödel schließlich 1963 seinen Stempel aufsetzte.

Seine Erkenntnisse waren ebenso revolutionär wie Gödels eigene. Seitdem haben Mathematiker zwei verschiedene mathematische Welten aufgebaut, eine, in der die Kontinuumshypothese gilt, und eine, in der sie nicht gilt, und moderne mathematische Beweise müssen eine Erklärung einfügen, die besagt, ob das Ergebnis von der Kontinuumshypothese abhängt oder nicht.

Cohens paradigmenverändernder Beweis brachte ihm Ruhm, Reichtum und mathematische Preise in Hülle und Fülle, und er wurde ein Spitzenprofessor in Stanford und Princeton. Im Rausch des Erfolgs beschloss er, den Heiligen Gral der modernen Mathematik, Hilberts achtes Problem, die Riemann-Hypothese, in Angriff zu nehmen. Allerdings verbrachte er die letzten 40 Jahre seines Lebens bis zu seinem Tod im Jahr 2007 mit diesem Problem, ohne es zu lösen (obwohl sein Ansatz anderen, darunter seinem brillanten Schüler Peter Sarnak, neue Hoffnung gegeben hat).

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