Idee

Dr. von Neumann, ich möchte gerne wissen, was ist denn eigentlich ein Hilbertscher Raum ? 1

Ein Hilbertscher Raum ist eine (möglicherweise) unendlich-dimensionale Verallgemeinerung der herkömmlichen R�ume der euklidischen Geometrie, in der die Begriffe Abstand und Winkel noch einen guten Sinn ergeben. Dies geschieht durch eine algebraische Operation, das innere Produkt, das das Punktprodukt verallgemeinert.

Hilbert-Räume wurden durch ihre Anwendungen in der Physik, wo sie die reinen Zustände von Quantensystemen organisieren, weltberühmt.

Hilbert-Räume bilden eine Kategorie, Hilb.

Siehe auch

• eine elementare Behandlung von Hilbert-Räumen.

Definitionen

Sei VV ein Vektorraum über dem Feld der komplexen Zahlen. (Man kann die Wahl des Feldes etwas verallgemeinern.) Ein inneres Produkt (im allgemeinsten, möglicherweise unbestimmten Sinn) auf VV ist eine Funktion

das (1â3) sesquilinear und (4) konjugiert-symmetrisch ist; das ist:

1. â¨0,xâ©=0 \langle 0, x \rangle = 0 und â¨x,0â©=0 \langle x, 0 \rangle = 0 ;
2. â¨x+y,zâ©=â¨x,zâ©+â¨y,zâ© \langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle und â¨x,y+zâ©=â¨x,yâ©+â¨x,zâ© \langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle ;
3. â¨cx,yâ©=c¯â¨x,yâ© \langle c x, y \rangle = \bar{c} \langle x, y \rangle und â¨x,cyâ©=câ¨x,yâ© \langle x, c y \rangle = c \langle x, y \rangle ;
4. â¨x,yâ©=â¨y,xâ©Â¯ \langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle} .

Hier verwenden wir die Konvention der Physiker, dass das innere Produkt in der ersten Variablen konjugiert-linear ist und nicht in der zweiten, und nicht die Konvention der Mathematiker, die umgekehrt ist. Die Konvention der Physiker passt ein wenig besser zu 22-Hilbert-Räumen. Man beachte, dass wir für die Werte des inneren Produkts dasselbe Feld wie für Skalare verwenden; die komplexe Konjugation wird für manche Wahl des Feldes irrelevant sein.

Die obige Axiomenliste ist ziemlich redundant. Erstens folgt (1) aus (3), indem man c=0c = 0 setzt; außerdem gibt es (1â3) in Paaren, von denen nur eines benötigt wird, da jede Hälfte aus der anderen mittels (4) folgt. Es ist sogar möglich, (3) aus (2) abzuleiten, indem man annimmt, dass VV ein topologischer Vektorraum ist und dass das innere Produkt stetig ist (was, wie wir sehen werden, für einen Hilbert-Raum ohnehin immer gilt).

Das nächste zu definierende Konzept ist die (Halb-)Bestimmtheit. Wir definieren eine Funktion âââ 2:Vââ\|{-}\|^2: V \zu \mathbb{C} durch âxâ 2=â¨x,xâ©\|x\|^2 = \langle x, x \rangle; in der Tat nimmt âââ 2\|{-}\|^2 nur reelle Werte an, durch (4). * Das innere Produkt ist positiv semidefinit, oder einfach positiv, wenn âxâ 2â¥0\|x\|^2 \geq 0 immer. * Beachten Sie, dass (durch 1) âxâ 2=0\|x\|^2 = 0 ist, wenn x=0x = 0 ist; das innere Produkt ist definitiv, wenn das Gegenteil zutrifft. * Ein inneres Produkt ist positiv definit, wenn es sowohl positiv als auch definitiv ist. * Nebenbei bemerkt gibt es auch negative (semi)definite innere Produkte, die etwas weniger praktisch sind, sich aber nicht wirklich unterscheiden. Ein inneres Produkt ist unbestimmt, wenn einige âxâ 2\|x\|^2 positiv und einige negativ sind; diese haben einen ganz anderen Geschmack.

Das innere Produkt ist vollständig, wenn für eine beliebige unendliche Folge (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) gilt, dass

es existiert eine (notwendigerweise eindeutige) Summe SS, so dass

Wenn das innere Produkt definitiv ist, dann muss diese Summe, wenn sie existiert, eindeutig sein, und wir schreiben

(wobei die rechte Seite undefiniert ist, wenn keine solche Summe existiert).

Dann ist ein Hilbert-Raum einfach ein Vektorraum, der mit einem vollständigen positiv definitiven inneren Produkt ausgestattet ist.

Hilbert-Räume als Banach-Räume

Wenn ein inneres Produkt positiv ist, dann können wir die Hauptquadratwurzel von âxâ 2=â¨x,xâ©\|x\|^2 = \langle x, x \rangle nehmen, um die eine reelle Zahl âxâ\|x\|, die Norm von xx zu erhalten.

Diese Norm erfüllt alle Anforderungen an einen Banach-Raum. Sie erfüllt zusätzlich das Parallelogrammgesetz

welches nicht alle Banachräume erfüllen müssen. (Der Name dieses Gesetzes kommt von seiner geometrischen Interpretation: Die Normen auf der linken Seite sind die Längen der Diagonalen eines Parallelogramms, während die Normen auf der rechten Seite die Längen der Seiten sind.)

Außerdem hat jeder Banachraum, der das Parallelogrammgesetz erfüllt, ein eindeutiges inneres Produkt, das die Norm reproduziert, definiert durch

oder 12(âx+yâ 2ââxâyâ 2)\frac{1}{2}(\|x + y\|^2 – \|x – y\|^2) im realen Fall.

Daher ist es möglich, einen Hilbert-Raum als Banach-Raum zu definieren, der das Parallelogrammgesetz erfüllt. Dies funktioniert sogar noch etwas allgemeiner; ein positiv semidefiniter Innenproduktraum ist ein pseudonormierter Vektorraum, der das Parallelogrammgesetz erfüllt. (Wir können jedoch ein unbestimmtes inneres Produkt nicht aus einer Norm gewinnen.)

Hilbert-Räume als metrische Räume

In jedem positiv semidefiniten inneren Produktraum sei der Abstand d(x,y)d(x,y)

Dann ist dd eine Pseudometrik; sie ist eine vollständige Metrik, wenn und nur wenn wir einen Hilbert-Raum haben.

In der Tat können die Axiome eines Banach-Raums (oder pseudonormierten Vektorraums) vollständig in Begriffen der Metrik geschrieben werden; wir können auch das Parallelogrammgesetz wie folgt angeben:

In Definitionen ist es wahrscheinlich üblich, dass die Metrik nur eingeführt wird, um die Vollständigkeitsanforderung anzugeben. In der Tat besagt (1), dass die Folge von Teilsummen eine Cauchy-Folge ist, während (2) besagt, dass die Folge von Teilsummen zu SS konvergiert.

Hilbert-Räume als konforme Räume

Gibt man zwei Vektoren xx und yy, die beide ungleich Null sind, so sei der Winkel zwischen ihnen der Winkel θ(x,y)\theta(x,y), dessen Kosinus ist

(Man beachte, dass dieser Winkel im Allgemeinen imaginär sein kann, aber nicht für einen Hilbert-Raum über â\mathbb{R}.)

Ein Hilbert-Raum kann jedoch nicht vollständig aus seinen Winkeln rekonstruiert werden (selbst wenn der zugrunde liegende Vektorraum gegeben ist). Das innere Produkt kann nur bis zu einem positiven Skalenfaktor rekonstruiert werden.

Morphismen von Hilbert-Räumen

Siehe Diskussion unter Banach-Raum. Es gibt hier mehr zu Dualen zu sagen (einschließlich, warum die Theorie der Hilbert-Räume über â\mathbb{C} etwas schöner ist, während die der Banach-Räume über â\mathbb{R} etwas schöner ist).

Beispiele

Banach-Räume

Alle pp-parametrisierten Beispiele im Banach-Raum gelten, wenn man p=2p = 2 nimmt.

Insbesondere ist der nn-dimensionale Vektorraum â n\mathbb{C}^n ein komplexer Hilbertraum mit

Jedes Teilfeld KK von â\mathbb{C} ergibt einen positiv definitiven inneren Produktraum K nK^n, dessen Vollendung entweder â n\mathbb{R}^n oder â n\mathbb{C}^n ist. Insbesondere ist der kartesische Raum â n\mathbb{R}^n ein reeller Hilbert-Raum; die oben definierten geometrischen Begriffe von Abstand und Winkel stimmen für dieses Beispiel mit der gewöhnlichen euklidischen Geometrie überein.

Of Lebesgue square-integrable functions over a manifold

Die L-Hilbert-Räume L 2(â)L^2(\mathbb{R}), L 2()L^2(), L 2(â 3)L^2(\mathbb{R}^3), etc (reell oder komplex) sind sehr gut bekannt. Im Allgemeinen besteht L 2(X)L^2(X) für XX ein Maßraum aus den fast überall definierten Funktionen ff von XX zum Skalarfeld (â\mathbb{R} oder â\mathbb{C}), so dass â“|f| 2 \int |f|^2 zu einer endlichen Zahl konvergiert, wobei Funktionen identifiziert werden, wenn sie fast überall gleich sind; wir haben â¨f,gâ©=â „f¯g\langle f, g\rangle = \int \bar{f} g, was durch die CauchyâSchwarz-Ungleichung konvergiert. In den aufgeführten Sonderfällen (und allgemein, wenn XX ein lokal kompakter Hausdorff-Raum ist) können wir diesen Raum auch durch Vervollständigung des positiv definitiven inneren Produktraums kompakt gestützter stetiger Funktionen erhalten.

Von quadratisch-integrablen Halbdichten

• Kanonischer Hilbert-Raum von Halbdichten

Eigenschaften

Grundlagen

Ein grundlegendes Ergebnis ist, dass Hilbert-Räume abstrakt gesehen alle vom gleichen Typ sind: Jeder Hilbert-Raum HH lässt eine orthonormale Basis zu, d.h. eine Teilmenge SâHS \subseteq H, deren Einschlusskarte sich (notwendigerweise eindeutig) zu einem Isomorphismus

von Hilbert-Räumen erstreckt. Dabei ist l 2(S)l^2(S) der Vektorraum, der aus jenen Funktionen xx von SS zum Skalarfeld besteht, so dass

auf eine endliche Zahl übergeht; dies kann man auch erhalten, indem man den Vektorraum der formalen Linearkombinationen der Elemente von SS mit einem inneren Produkt vervollständigt, das eindeutig durch die Regel

bestimmt ist, wobei Α uv\delta_{u v} das Kronecker-Delta bezeichnet. Wir haben also, in l 2(S)l^2(S),

(Diese Summe konvergiert durch die CauchyâSchwarz-Ungleichung.)

Im Allgemeinen verwendet dieses Ergebnis das Auswahlaxiom (gewöhnlich in Form von Zorns Lemma und ausgeschlossener Mitte) in seinem Beweis und ist äquivalent dazu. Das Ergebnis für trennbare Hilbert-Räume benötigt jedoch nur eine abhängige Wahl und ist daher nach den Standards der meisten Schulen konstruktiv. Auch ohne abhängige Wahl können explizite Orthornormalbasen für bestimmte L 2(X)L^2(X) oft mit Hilfe der Identitätsapproximationstechniken erzeugt werden, oft in Verbindung mit einem Gram-Schmidt-Verfahren.

Insbesondere sind alle unendlichdimensionalen separablen Hilbert-Räume abstrakt isomorph zu L 2(â)l^2(\mathbb{N}).

CauchyâSchwarz Ungleichung

Die Schwarz Ungleichung (oder CauchyâÐÑнÑковÑкийâSchwarz Ungleichung, etc) ist sehr praktisch:

Das sind eigentlich zwei Theoreme (mindestens): ein abstraktes Theorem, dass die Ungleichung in jedem Hilbert-Raum gilt, und konkrete Theoreme, dass sie gilt, wenn das innere Produkt und die Norm durch die Formeln definiert sind, die in den obigen Beispielen L 2(X)L^2(X) und l 2(S)l^2(S) verwendet wurden. Die konkreten Theoreme gelten auch für Funktionen, die nicht zum Hilbert-Raum gehören, und beweisen so, dass das innere Produkt konvergiert, wenn die Normen konvergieren. (Ein etwas stärkeres Ergebnis ist nötig, um diese Konvergenz konstruktiv zu schließen; es ist im Buch von Errett Bishop zu finden.)

• Richtiger Hilbert-Raum

• Hilbert-C-Stern-Modul, Hilbert-Bimodul

• Kähler-Vektorraum

Standarddarstellungen von Hilberträumen in der Quantenmechanik sind u.a.

• John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.

  (Deutsch) Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Berlin, Deutschland: Springer Verlag, 1932.

• George Mackey, The Mathematical Foundations of Quamtum Mechanics A

  Lecture-note Volume, ser. The mathematical physics monograph series. Princeton University, 1963

• E. PrugoveÄki, Quantum mechanics in Hilbert Space. Academic Press, 1971.