Der Umgang mit rationalen Ausdrücken mag einigen Schülerinnen und Schülern schwierig erscheinen, aber die Regeln für die Multiplikation von Ausdrücken sind bei ganzen Zahlen genau dieselben. In der Mathematik ist eine rationale Zahl definiert als eine Zahl, die die Form p/q hat, wobei p und q ganze Zahlen sind und q nicht gleich Null ist.

Beispiele für rationale Zahlen sind: 2/3, 5/8, -3/14, -11/-5, 7/-9, 7/-15 und -6/-11 usw.

Ein algebraischer Ausdruck ist ein mathematischer Satz, in dem Variablen und Konstanten mit Hilfe der Operationssymbole (+, -, × & ÷) kombiniert werden.

Beispiele für algebraische Ausdrücke sind 10x + 63 und 5x – 3. In ähnlicher Weise haben rationale Ausdrücke die Form p/q und entweder p oder q sind algebraische Ausdrücke.

Beispiele für rationale Ausdrücke sind: 3/ (x – 3), 2/ (x + 5), (4x – 1)/3, (x2 + 7x)/6, (2x + 5)/ (x2 + 3x – 10), (x + 3)/(x + 6) usw.

Wie multipliziert man rationale Ausdrücke?

In diesem Artikel werden wir lernen, wie man rationale Ausdrücke multipliziert, aber vorher wollen wir uns daran erinnern, dass zwei Brüche multipliziert werden.

Bei der Multiplikation zweier Brüche geht es darum, das Produkt des Zählers des ersten und des zweiten Bruchs und das Produkt des Nenners zu finden. Mit anderen Worten, die Multiplikation zweier rationaler Zahlen ist gleich dem Produkt der Zähler/Produkt ihrer Nenner.

Alternativ kann man die Multiplikation rationaler Ausdrücke durchführen, indem man zuerst den Zähler und den Nenner faktorisiert und auslöscht und dann die verbleibenden Faktoren multipliziert.

Nachfolgend sind die Schritte aufgeführt, die für die Multiplikation rationaler Ausdrücke erforderlich sind:

• Faktorisieren Sie sowohl den Nenner als auch den Zähler jedes Ausdrucks aus.
• Reduziere die Ausdrücke nur dann auf die kleinstmöglichen Terme, wenn die Faktoren in den Zählern und Nennern gemeinsam oder ähnlich sind.
• Multipliziere die verbleibenden Ausdrücke miteinander.

Beispiel 1

Multipliziere 3/5y * 4/3y

Lösung

Multipliziere die Zähler und Nenner getrennt voneinander;

3/5y * 4/3y = (3 * 4)/ (5y * 3y)

= 12/15y 2

Reduziere den Bruch, indem du mit 3 aufhebst;

12/15y 2 = 4/5y2

Beispiel 2

Multipliziere {(12x – 4x 2)/ (x 2 + x -12)} * {(x 2 + 2x -8)/ (x 3-4x)}

Lösung

Faktorieren Sie sowohl die Zähler als auch die Nenner der einzelnen Ausdrücke aus;

= {- 4x (x – 3)/(x-3) (x + 4)} * {(x – 2) (x + 4)/x (x + 2) (x – 2)}

Reduziere oder streiche die Ausdrücke und schreibe den verbleibenden Bruch um;

= -4/ x + 2

Beispiel 3

Multipliziere (x 2 – 3x – 4/x 2 -x -2) * (x 2 – 4/ x2 + x – 20).

Lösung

Faktoriere die Zähler und Nenner aller Ausdrücke;

= (x – 4) (x + 1)/ (x + 1) (x – 2) * (x + 2) (x – 2)/ (x – 4) (x + 5)

Streiche und schreibe die restlichen Faktoren um;

= x + 2/ x + 5

Beispiel 4

Multipliziere

(9 – x 2/x 2 + 6x + 9) * (3x + 9/3x – 9)

Lösung

Faktoriere die Zähler und Nenner und streiche gemeinsame Faktoren aus;

= – 1 (x + 3) (x – 3)/ (x + 3)2 * 3(x + 3)/3(x – 30

= -1

Beispiel 5

Vereinfachen: (x2+5x+4) * (x+5)/(x2-1)

Lösung

Durch Faktorisierung von Zähler und Nenner erhalten wir;

=>(x+1) (x+4) (x+5)/(x+1) (x-1)

Wenn wir die gemeinsamen Terme aufheben, erhalten wir;

=>(x+4) (x+5)/x-1

Beispiel 6

Multiplizieren Sie ((x + 5) / (x – 4)) * (x / x + 1)

Lösung

= ((x + 5) * x) / ((x – 4) * (x + 1))

= (x2 + 5x) / (x2 – 4x + x – 4)

= (x2 + 5x) / (x2 – 3x- 4)

Wenn man eine ganze Zahl mit einem algebraischen Ausdruck multipliziert, multipliziert man die Zahl einfach mit dem Zähler des Ausdrucks.

Das ist möglich, weil jede ganze Zahl immer den Nenner 1 hat und sich daher die Multiplikationsregeln zwischen einem Ausdruck und einer ganzen Zahl nicht ändern.

Betrachte das folgende Beispiel 7:

Beispiel 7

Multipliziere ((x + 5) / (x2 – 4)) * x

Lösung

= ((x + 5) / (x2 – 4)) * x / 1

= (x + 5) * x / (x2 – 4) × 1

= (x2 + 5x) / (x2 – 4)

Praxisfragen

Vereinfachen Sie die folgenden rationalen Ausdrücke:

Antworten