Wenn ein Polynom nur eine unbestimmte Zahl hat (univariates Polynom), dann werden die Terme gewöhnlich entweder vom höchsten Grad zum niedrigsten Grad („absteigende Potenzen“) oder vom niedrigsten Grad zum höchsten Grad („aufsteigende Potenzen“) geschrieben. Ein univariates Polynom in x vom Grad n hat dann die oben dargestellte allgemeine Form, wobei

cn ≠ 0, cn-1, …, c2, c1 und c0

Konstanten, die Koeffizienten des Polynoms sind.

Hier heißt der Term cnxn der führende Term und sein Koeffizient cn der führende Koeffizient; wenn der führende Koeffizient 1 ist, heißt das univariate Polynom monisch.

BeispieleBearbeiten

• Komplexe quadratische Polynome

EigenschaftenBearbeiten

Multiplikativ geschlossenBearbeiten

Die Menge aller monischen Polynome (über einem gegebenen (unitären) Ring A und für eine gegebene Variable x) ist multiplikativ geschlossen, da das Produkt der führenden Terme von zwei monischen Polynomen der führende Term ihres Produkts ist. Die monischen Polynome bilden also eine multiplikative Halbgruppe des Polynomrings A. Da das konstante Polynom 1 monisch ist, ist diese Halbgruppe sogar ein Monoid.

Partiell geordnetEdit

Die Einschränkung der Teilbarkeitsrelation auf die Menge aller monischen Polynome (über dem gegebenen Ring) ist eine partielle Ordnung und macht diese Menge damit zu einem Poset. Denn wenn für zwei monische Polynome p und q p(x) durch p(x) und q(x) durch p(x) teilbar ist, dann müssen p und q gleich sein. Die entsprechende Eigenschaft gilt nicht für Polynome im Allgemeinen, wenn der Ring invertierbare Elemente außer 1 enthält.

Lösungen von PolynomgleichungenBearbeiten

In anderer Hinsicht hängen die Eigenschaften monischer Polynome und ihrer entsprechenden monischen Polynomgleichungen entscheidend vom Koeffizientenring A ab. Wenn A ein Feld ist, dann hat jedes Polynom p ungleich Null genau ein zugehöriges monisches Polynom q: p geteilt durch seinen führenden Koeffizienten. Auf diese Weise kann jede nichttriviale Polynomgleichung p(x) = 0 durch eine äquivalente monische Gleichung q(x) = 0 ersetzt werden. Zum Beispiel kann die allgemeine reelle Gleichung zweiten Grades

a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}

(mit a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}

)

kann ersetzt werden durch

x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle \ x^{2}+px+q=0}

,

durch den Ersatz von p = b/a und q = c/a. Somit ist die Gleichung

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}

äquivalent zu der monischen Gleichung

x 2 + 3 2 x + 1 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0.}

Die allgemeine quadratische Lösungsformel ist dann die etwas vereinfachte Form von:

x = 1 2 ( – p ± p 2 – 4 q ) . {\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right).}

IntegralitätsEdit

Wenn der Koeffizientenring kein Feld ist, gibt es dagegen wesentlichere Unterschiede. Zum Beispiel kann eine monische Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten keine rationalen Lösungen haben, die nicht ganzzahlig sind. So ist die Gleichung

2 x 2 + 3 x + 1 = 0 {\displaystyle \ 2x^{2}+3x+1=0}

möglicherweise eine rationale Wurzel haben, die keine ganze Zahl ist (und übrigens ist eine ihrer Wurzeln -1/2); während die Gleichungen

x 2 + 5 x + 6 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+5x+6=0}

und

x 2 + 7 x + 8 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+7x+8=0}

können nur ganzzahlige Lösungen oder irrationale Lösungen haben.

Die Wurzeln monischer Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten heißen algebraische ganze Zahlen.

Die Lösungen monischer Polynomgleichungen über einem integralen Gebiet sind wichtig für die Theorie der integralen Erweiterungen und integral geschlossenen Gebiete und damit für die algebraische Zahlentheorie. Im Allgemeinen nehmen wir an, dass A eine integrale Domäne ist, und auch ein Unterring der integralen Domäne B. Betrachten wir die Teilmenge C von B, die aus denjenigen Elementen von B besteht, die monische Polynomgleichungen über A erfüllen:

C := { b ∈ B : ∃ p ( x ) ∈ A , die monisch ist und so, dass p ( b ) = 0 } . {∃ B : ∃ p ( x ) ∈ A , das monisch ist und so, dass p ( b ) = 0 ist.

Die Menge C enthält A, da jedes a ∈ A die Gleichung x – a = 0 erfüllt. Außerdem ist es möglich zu beweisen, dass C unter Addition und Multiplikation geschlossen ist. Somit ist C ein Unterring von B. Der Ring C heißt der von A in B; oder einfach der integrale Abschluss von A, wenn B das Bruchfeld von A ist; und die Elemente von C sollen integral über A sein. Wenn hier A = Z {\displaystyle A=\mathbb {Z} }

(der Ring der ganzen Zahlen) und B = C {\displaystyle B=\mathbb {C} }

(der Bereich der komplexen Zahlen), dann ist C der Ring der algebraischen ganzen Zahlen.

IrreduzibilitätBearbeiten

Ist p eine Primzahl, so ist die Anzahl der monischen irreduziblen Polynome vom Grad n über einem endlichen Feld G F ( p ) {\displaystyle \mathrm {GF} (p)}

mit p Elementen ist gleich der Halskettenzählfunktion N p ( n ) {\displaystyle N_{p}(n)}

.

Entfernt man die Einschränkung, monisch zu sein, wird diese Zahl zu ( p – 1 ) N p ( n ) {\displaystyle (p-1)N_{p}(n)}