Metrischer Raum, in der Mathematik, insbesondere der Topologie, eine abstrakte Menge mit einer Abstandsfunktion, genannt Metrik, die einen nichtnegativen Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten angibt, so dass die folgenden Eigenschaften gelten: (1) der Abstand zwischen dem ersten und dem zweiten Punkt ist gleich Null, wenn die Punkte gleich sind, (2) der Abstand zwischen dem ersten und dem zweiten Punkt ist gleich dem Abstand zwischen dem zweiten und dem ersten Punkt, und (3) die Summe aus dem Abstand zwischen dem ersten und dem zweiten Punkt und dem Abstand zwischen dem zweiten und einem dritten Punkt ist größer oder gleich dem Abstand zwischen dem ersten und dem dritten Punkt. Die letzte dieser Eigenschaften wird als Dreiecksungleichung bezeichnet. Der französische Mathematiker Maurice Fréchet begann 1905 mit der Untersuchung metrischer Räume.

Die übliche Abstandsfunktion auf der reellen Zahlengeraden ist eine metrische Funktion, ebenso wie die übliche Abstandsfunktion im euklidischen n-dimensionalen Raum. Es gibt auch exotischere Beispiele, die für Mathematiker interessant sind. Die diskrete Metrik legt für eine beliebige Menge von Punkten fest, dass der Abstand von einem Punkt zu sich selbst gleich 0 ist, während der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten gleich 1 ist. Die so genannte Taxicab-Metrik in der euklidischen Ebene besagt, dass der Abstand von einem Punkt (x, y) zu einem Punkt (z, w) gleich |x – z| + |y – w| ist. Diese „Taxicab-Distanz“ gibt die minimale Länge eines Weges von (x, y) nach (z, w) an, der aus horizontalen und vertikalen Liniensegmenten besteht. In der Analysis gibt es mehrere nützliche Metriken auf Mengen begrenzter reellwertiger kontinuierlicher oder integrierbarer Funktionen.

So verallgemeinert eine Metrik den Begriff des gewöhnlichen Abstands auf allgemeinere Bedingungen. Darüber hinaus bestimmt eine Metrik auf einer Menge X eine Sammlung offener Mengen oder eine Topologie auf X, wenn eine Teilmenge U von X dann und nur dann als offen erklärt wird, wenn es für jeden Punkt p von X einen positiven (möglicherweise sehr kleinen) Abstand r gibt, so dass die Menge aller Punkte von X mit einem Abstand kleiner als r von p vollständig in U enthalten ist. Auf diese Weise liefern metrische Räume wichtige Beispiele für topologische Räume.

Ein metrischer Raum gilt als vollständig, wenn jede Folge von Punkten, in denen die Terme schließlich paarweise beliebig nahe beieinander liegen (eine sogenannte Cauchy-Folge), zu einem Punkt im metrischen Raum konvergiert. Die übliche Metrik auf den rationalen Zahlen ist nicht vollständig, da einige Cauchy-Folgen rationaler Zahlen nicht zu rationalen Zahlen konvergieren. Zum Beispiel konvergiert die rationale Zahlenfolge 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, … zu π, was keine rationale Zahl ist. Die übliche Metrik der reellen Zahlen ist jedoch vollständig, und darüber hinaus ist jede reelle Zahl der Grenzwert einer Cauchy-Folge rationaler Zahlen. In diesem Sinne bilden die reellen Zahlen die Vollendung der rationalen Zahlen. Der Beweis dieser Tatsache, der 1914 von dem deutschen Mathematiker Felix Hausdorff erbracht wurde, kann verallgemeinert werden, um zu zeigen, dass jeder metrische Raum eine solche Vervollständigung besitzt.