Die Raumsonde New Horizons nähert sich Pluto und macht dabei einige großartige Aufnahmen. Die Animation unten zeigt Pluto und Charon, wie sie sich gegenseitig umkreisen.
Wenn ein Planet (oder Zwergplanet) einen Satelliten hat, kann man die Bewegung dieses Objekts nutzen, um die Masse des Planeten zu bestimmen. Das ist nicht allzu schwierig. Verwenden wir die obige Animation, um die Masse des Pluto zu schätzen. Ok, es gibt nur eine Sache, die wir brauchen, die nicht im Video zu sehen ist. Wir müssen die Entfernung von Charon zu Pluto kennen. Wenn ich das Sichtfeld der Kamera kennen würde, könnte ich den Abstand zwischen den beiden Objekten aus dem Winkelabstand ermitteln. Für dieses Beispiel werde ich jedoch einfach diesen Wert nachschlagen und eine Pluto-Charon-Entfernung von 1,957 x 107 m verwenden.
Auch ein paar andere Anmerkungen zu diesem Pluto-Charon-Video.
- Die Bildfolge zeigt Pluto und Charon, während sich das Raumschiff den beiden Objekten nähert. Das bedeutet, dass sich die Entfernungsskala in jedem Bild ändert.
- Dieses Video ist relativ zum Massenschwerpunkt der Charon-Pluto-Umlaufbahn. Man sieht, dass sowohl Pluto als auch Charon ein gemeinsames Zentrum umkreisen.
- Wir betrachten die Umlaufbahn nicht aus einem völlig senkrechten Winkel. Das bedeutet, dass Charon sich nicht kreisförmig zu bewegen scheint (obwohl er es im Grunde ist).
Grundlagen der Physik
Es gibt eigentlich nur zwei physikalische Prinzipien, die wir für dieses Problem brauchen – die Gravitationskraft und die Beschleunigung eines Objekts, das sich im Kreis bewegt. Beginnen wir mit der Schwerkraft.
Das Modell für die Gravitationswechselwirkung besagt, dass es eine Anziehungskraft auf Objekte mit Masse gibt. Die Größe dieser Kraft ist proportional zum Produkt der Massen der beiden wechselwirkenden Objekte und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen den Objekten. Ich kann die Größe dieser Kraft schreiben als:
Das G ist nur eine Konstante, also mach dir darüber keine Sorgen. Aber es gibt noch eine weitere Sache, die wichtig ist. Die Gravitationskraft zieht die beiden Objekte immer zusammen und wirkt in Richtung des anderen Objekts.
Die andere wichtige Idee ist, die Beschleunigung eines Objekts zu betrachten, das sich auf einem Kreis bewegt – ja, sowohl Pluto als auch Charon bewegen sich auf einem Kreis um einen gemeinsamen Mittelpunkt. Hier ist ein Diagramm (allerdings nicht maßstabsgetreu).
Jedes Objekt, das sich im Kreis bewegt (auch bei konstanter Geschwindigkeit), wird beschleunigt. Die Richtung dieser Beschleunigung ist auf den Mittelpunkt des Kreises gerichtet und hat einen Betrag, der sowohl von der Winkelgeschwindigkeit als auch vom Radius des Kreises abhängt. Diese Beschleunigung kann geschrieben werden als:
Hier ist das ω die Winkelgeschwindigkeit des Objekts in Radiant pro Sekunde. Aber ich denke, es gibt noch eine weitere physikalische Sache, die man sich ansehen sollte: die Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung. Ganz einfach, je größer die Nettokraft auf ein Objekt ist, desto größer ist die Beschleunigung.
Nun fassen wir alles zusammen. Die Kraft ist die Gravitationskraft und die Beschleunigung ist auf die Kreisbewegung zurückzuführen. Es gibt nur einen Haken. Wenn ich dies für die Bewegung von Charon ausschreibe, dann wird die Gravitationskraft die Entfernung von Charon zu Pluto verwenden, aber die Beschleunigung wird die Entfernung von Charon zum Zentrum der Rotationsbewegung verwenden. Der Klarheit halber nenne ich den Abstand zwischen den Objekten r und der Radius von Charons Kreisbahn ist rc. Da die Gravitationskraft (die einzige Kraft) in der gleichen Richtung wie die Beschleunigung wirkt, kann ich diese Gleichung als Skalargleichung aufstellen.
Die Masse von Charon hebt sich auf und so kann ich die Masse von Pluto bestimmen.
Ich brauche also nur die beiden Entfernungen und die Winkelgeschwindigkeit von Charons Umlaufbahn.
Werte finden
Ich sagte bereits, dass ich die Entfernung von Pluto zu Charon nachschlagen werde. Ich brauche aber die Entfernung von Charon zum Mittelpunkt des Umlaufkreises. Indem ich die Bilder der Animation überspringe, kann ich das Bild finden, in dem Charon und Pluto am weitesten voneinander entfernt sind – an diesem Punkt kann ich die volle Größe der Umlaufbahn sehen (keine Perspektive). Mit diesem Bild und dem Abstand zwischen Pluto und Charon erhalte ich einen kreisförmigen Bahnradius von 1,69 x 107 m.
Nun brauche ich nur noch die Winkelgeschwindigkeit der Bahn. Wenn ich ein Bild wähle, bei dem Charon fast über Pluto ist und dann, wenn er fast unter ihm ist, wäre das ein halber Orbit. Betrachtet man die Zeitstempel der einzelnen Frames, so ergibt sich eine Zeit von etwa 3,2 Tagen (276 480 Sekunden). Damit wäre die Winkelgeschwindigkeit:
Bei einer Gravitationskonstante von G = 6,67 x 10-11 N*m2/kg2 kann ich alle meine Werte einsetzen, um die Masse zu berechnen. Wenn ich die Zahlen ausrechne, erhalte ich eine Plutomasse von 1,24 x 1022 kg. BUMM. Das ist ziemlich nah an dem Wert, der auf 22Wikipedia mit einem Wert von 1,3 x 1022 angegeben ist. Ich halte das für nahe genug, um es als Erfolg zu werten.
Wie sieht es mit der Masse von Charon aus? Du kannst dieselbe Idee und den Bahnabstand für Plutos Umlaufbahn verwenden, um eine Massenschätzung zu erhalten. Das ist eine Hausaufgabe für dich.
Numerisches Modell
Nur zum Spaß, hier ist ein numerisches Modell, das die Bewegung von Pluto und Charon zeigt.
Der obige Code ist auf trinket.io. Das bedeutet, dass du dir den Code ansehen UND ihn ändern kannst. Versuchen Sie, die Massen der Planeten zu ändern und sehen Sie, was passiert. Beachte, dass der Massenschwerpunkt nicht stationär bleibt, wenn sich die Anfangsimpulse der beiden Planeten nicht zum Nullvektor addieren. Das ist eine lustige Sache.