Paul Cohen (1934-2007)
Paul Cohen var en af en ny generation af amerikanske matematikere, der blev inspireret af tilstrømningen af europæiske eksilerede i krigsårene. Han var selv anden generation af jødiske immigranter, men han var uhyre intelligent og ekstremt ambitiøs. Ved ren og skær intelligens og viljestyrke opnåede han berømmelse, rigdom og de højeste matematiske priser.
Han blev uddannet i New York, Brooklyn og på University of Chicago, inden han arbejdede sig op til et professorat på Stanford University. Han vandt herefter den prestigefyldte Fields Medal i matematik samt National Medal of Science og Bôcher Memorial Prize i matematisk analyse. Hans matematiske interesser var meget brede og strakte sig fra matematisk analyse og differentialligninger til matematisk logik og talteori.
I begyndelsen af 1960’erne beskæftigede han sig seriøst med det første af Hilberts 23 lister over åbne problemer, Cantors kontinuumshypotese, nemlig hvorvidt der findes en mængde af tal, der er større end mængden af alle naturlige (eller hele) tal, men mindre end mængden af reelle (eller decimaltal) tal. Cantor var overbevist om, at svaret var “nej”, men var ikke i stand til at bevise det på tilfredsstillende vis, og det var ingen andre, der har beskæftiget sig med problemet siden.
En af flere alternative formuleringer af Zermelo-Fraenkel-aksiomerne og valgaksiomet
Der var sket visse fremskridt siden Cantor. Mellem ca. 1908 og 1922 udviklede Ernst Zermelo og Abraham Fraenkel standardformen af den aksiomatiske mængdelære, som skulle blive det mest almindelige fundament i matematikken, kendt som Zermelo-Fraenkel mængdelære (ZF, eller, som modificeret af valgets aksiom, som ZFC).
Kurt Gödel påviste i 1940, at kontinuumshypotesen er i overensstemmelse med ZF, og at kontinuumshypotesen ikke kan modbevises ud fra standard Zermelo-Fraenkel mængdelære, selv om valgaxiomet er vedtaget. Cohens opgave var derfor at vise, at kontinuumshypotesen var uafhængig af ZFC (eller ej), og specifikt at bevise uafhængigheden af valgaxiomet.
Forcing Technique
Cohens ekstraordinære og dristige konklusion, som han nåede frem til ved hjælp af en ny teknik, som han selv udviklede og kaldte “forcing”, var, at begge svar kunne være sande, dvs. at kontinuumshypotesen og valgaxiomet var fuldstændig uafhængige af ZF-mængdelæren. Der kunne således være to forskellige, internt konsistente matematikker: en, hvor kontinuumshypotesen var sand (og der ikke fandtes en sådan mængde af tal), og en, hvor hypotesen var falsk (og der fandtes en mængde af tal). Beviset syntes at være korrekt, men Cohens metoder, især hans nye teknik med “forcering”, var så nye, at ingen var helt sikker, før Gödel endelig gav sit stempel af godkendelse i 1963.
Hans resultater var lige så revolutionerende som Gödels egne. Siden da har matematikere opbygget to forskellige matematiske verdener, en hvor kontinuumshypotesen gælder, og en hvor den ikke gør det, og moderne matematiske beviser skal indsætte en erklæring om, hvorvidt resultatet afhænger af kontinuumshypotesen eller ej.
Cohens paradigmeskiftende bevis gav ham berømmelse, rigdom og matematiske priser i massevis, og han blev en topprofessor på Stanford og Princeton. I sin succes besluttede han sig for at tage fat på den moderne matematiks hellige gral, Hilberts ottende problem, Riemann-hypotesen. Han endte imidlertid med at bruge de sidste 40 år af sit liv, indtil sin død i 2007, på problemet, men stadig uden at få nogen løsning (selv om hans tilgang har givet nyt håb til andre, herunder hans geniale elev, Peter Sarnak).
| << Tilbage til Weil | Forward to Robinson and Matiyasevich >>> |