Idee

Dr. von Neumann, jeg vil gerne vide, hvad er da egentlig et Hilbertscher rum? 1

Et Hilbert-rum er en (muligvis) uendelig-dimensionel generalisering af de traditionelle rum i euklidisk geometri, hvor begreberne afstand og vinkel stadig giver god mening. Dette sker ved hjælp af en algebraisk operation, det indre produkt, der generaliserer prikproduktet.

Hilbertrum blev kendt i den store verden gennem deres anvendelser inden for fysikken, hvor de organiserer kvantesystemers rene tilstande.

Hilbertrum danner en kategori, Hilb.

Se også

• en elementær behandling af Hilbertrum.

Definitioner

Lad VV være et vektorrum over feltet af komplekse tal. (Man kan generalisere valget af feltet noget.) Et indre produkt (i den mest generelle, muligvis ubestemte betydning) på VV er en funktion

der er (1â3) sesquilineær og (4) konjugat-symmetrisk; dvs:

1. â¨0,xâ©=0 \langle 0, x \rangle = 0 og â¨x,0â©=0 \langle x, 0 \rangle = 0 ;
2. â¨x+y,zâ©=â¨x,zâ©+â¨y,zâ© \langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle og â¨x,y+zâ©=â¨x,yâ©+â¨x,zâ© \langle x,y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle ;
3. â¨cx,yâ©=c¯â¨x,yâ© \langle c x, y \rangle = \bar{c} \langle x, y \rangle og â¨x,cyâ©=câ¨x,yâ© \langle x, c y \rangle = c \langle x, y \rangle ;
4. â¨x,yâ©=â¨y,xâ©Â©Â¯ \langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle} .

Her bruger vi fysikerens konvention om, at det indre produkt er konjugeret lineært i den første variabel i stedet for i den anden, i stedet for matematikerens konvention, som er den omvendte. Fysikerens konvention passer lidt bedre til 22-Hilbert-rum. Bemærk, at vi bruger det samme felt som værdier for det indre produkt som for skalarer; den komplekse konjugation vil være irrelevant for nogle valg af felt.

Overstående aksiomliste er temmelig overflødig. For det første følger (1) af (3) ved at sætte c=0c = 0. Desuden kommer (1â3) parvis, hvoraf kun den ene er nødvendig, da hver halvdel følger af den anden ved hjælp af (4). Det er endda muligt at udlede (3) af (2) ved at antage, at VV er et topologisk vektorrum, og at det indre produkt er kontinuert (hvilket, som vi vil se, alligevel altid er sandt for et Hilbert-rum).

Det næste begreb, der skal defineres, er (halv)bestemthed. Vi definerer en funktion âââ 2:Vâââ\|{-}\|^2: V \til \mathbb{C} ved âxâ 2=â¨x,xâ©\|x\|^2 = \langle x, x \rangle; faktisk tager âââ 2\|{-}\||^2 kun reelle værdier, ifølge (4). * Det indre produkt er positivt semidefinit, eller blot positivt, hvis âxâ 2â 2â¥0\\|x\|^2 \geq altid 0. * Bemærk, at (i henhold til 1), âxâ 2=0=0\|x\|^2 = 0, hvis x=0x = 0; det indre produkt er defineret, hvis det omvendte er tilfældet. * Et indre produkt er positivt bestemt, hvis det er både positivt og bestemt. * Som en sidebemærkning findes der også negative (semi)definitte indre produkter, som er lidt mindre bekvemme, men ikke rigtig anderledes. Et indre produkt er ubestemt, hvis nogle âxâ 2\|x\|^2 er positive og nogle er negative; disse har en meget forskellig smag.

Det indre produkt er komplet, hvis, givet en uendelig sekvens (v 1,v 2,â¦)(v_1, v_2, \ldots) sådan, at

der findes en (nødvendigvis unik) sum SS sådan, at

Hvis det indre produkt er bestemt, må denne sum, hvis den findes, være entydig, og vi skriver

(med den højre side udefineret, hvis der ikke findes en sådan sum).

Så er et Hilbert-rum simpelthen et vektorrum udstyret med et komplet positivt bestemt indre produkt.

Hilbert-rum som Banach-rum

Hvis et indre produkt er positivt, så kan vi tage den vigtigste kvadratrod af âxâ 2=â¨x,xâ©\|x\|^2 = \langle x, x \rangle for at få det et reelt tal âxâ\|x\|, normen for xx.

Denne norm opfylder alle kravene til et Banach-rum. Den opfylder desuden parallelogramloven

som ikke alle Banach-rum behøver at opfylde. (Navnet på denne lov kommer fra dens geometriske fortolkning: normerne i venstre side er længderne af diagonalerne i et parallelogram, mens normerne i højre side er længderne af siderne.)

Dertil kommer, at ethvert Banach-rum, der opfylder parallelogramloven, har et unikt indre produkt, der gengiver normen, defineret ved

eller 12(âx+yâ 2âââxâyâ 2)\frac{1}{2}(\|x + y\|^2 – \|x – y\|^2) i det reelle tilfælde.

Det er derfor muligt at definere et Hilbert-rum som et Banach-rum, der opfylder parallelogramloven. Dette fungerer faktisk lidt mere generelt; et positivt semidefinit indre produktrum er et pseudonormeret vektorrum, der opfylder parallelogramloven. (Vi kan dog ikke genvinde et ubestemt indre produkt fra en norm.)

Hilbertrum som metriske rum

I ethvert positivt semidefinit indre produktrum, lad afstanden d(x,y)d(x,y) være

Så er dd en pseudometrisk; det er en komplet metrik, hvis og kun hvis vi har et Hilbert-rum.

Faktisk kan aksiomerne for et Banach-rum (eller pseudonormeret vektorrum) skrives helt i termer af metrikken; vi kan også angive parallelogramloven på følgende måde:

I definitioner er det nok mest almindeligt at se metrikken kun indført for at angive fuldstændighedskravet. Faktisk siger (1), at sekvensen af partielle summer er en Cauchy-sekvens, mens (2) siger, at sekvensen af partielle summer konvergerer mod SS.

Hilbert-rum som konforme rum

Givet to vektorer xx og yy, begge ikke-nul, lad vinklen mellem dem være vinklen θ(x,y)\theta(x,y), hvis cosinus er

(Bemærk, at denne vinkel kan være imaginær i almindelighed, men ikke for et Hilbert-rum over â\mathbb{R}.)

Et Hilbert-rum kan dog ikke rekonstrueres udelukkende ud fra dets vinkler (selv ikke hvis man har det underliggende vektorrum). Det indre produkt kan kun genfindes op til en positiv skalafaktor.

Morfismer af Hilbert-rum

Se diskussionen under Banach-rum. Der er mere at sige her om dualer (herunder hvorfor teorien om Hilbertrum er lidt pænere over â\mathbb{C}, mens teorien om Banachrum er lidt pænere over â\mathbb{R}).

Eksempler

Banachrum

Alle pp-parametrerede eksempler ved Banachrum gælder, hvis man tager p=2p = 2.

I særdeleshed er det nn-dimensionelle vektorrum â n\mathbb{C}^n et komplekst Hilbert-rum med

Ethvert underfelt KK af â\mathbb{C} giver et positivt bestemt indre produktrum K nK^n, hvis færdiggørelse enten er â n\mathbb{R}^n eller â n\mathbb{C}^n. Især er det kartesiske rum â n\mathbb{R}^n et reelt Hilbert-rum; de geometriske begreber afstand og vinkel, der er defineret ovenfor, stemmer overens med almindelig euklidisk geometri for dette eksempel.

Af Lebesgue-kvadratintegrerbare funktioner over en mangfoldighed

De L-Hilbertrum L 2(â)L^2(\mathbb{R}}), L 2()L^2(), L 2(â 3)L^2(\mathbb{R}^3) osv. (reelle eller komplekse) er meget velkendte. Generelt består L 2(X)L^2(X) for XX et målerum af de næsten overalt definerede funktioner ff fra XX til det skalære felt (â\mathbb{R} eller â\mathbb{C}), således at â”|f| 2 \int |f|^2 konvergerer mod et endeligt tal, med funktioner identificeret, hvis de er lige store næsten overalt; Vi har â¨f,gâ©=â “f¯g\langle f, g\rangle = \int \bar{f} g, som konvergerer ved hjælp af CauchyâSchwarz-ulighed. I de nævnte specifikke tilfælde (og generelt, når XX er et lokalt kompakt Hausdorff-rum) kan vi også få dette rum ved at supplere det positive definitte indre produktrum af kompakt understøttede kontinuerte funktioner.

Af kvadratintegrerbare halvtætheder

• kanonisk Hilbertrum af halvtætheder

Egenskaber

Baser

Et grundlæggende resultat er, at abstrakt set, er Hilbertrum alle af samme type: Hvert Hilbert-rum HH har en ortonormal basis, dvs. en delmængde SâHS \subseteq H, hvis inklusionskort udvider sig (nødvendigvis entydigt) til en isomorfi

af Hilbert-rum. Her er l 2(S)l^2(S) det vektorrum, der består af de funktioner xx fra SS til det skalære felt, således at

konverteres til et endeligt tal; Dette kan også opnås ved at supplere vektorrummet af formelle lineære kombinationer af elementer i SS med et indre produkt, der entydigt bestemmes af reglen

i hvilken δ uv\delta_{u v} betegner Kronecker delta. Vi har således, i l 2(S)l^2(S),

(Denne sum konvergerer ved CauchyâSchwarz-ulighed.)

Generelt bruger dette resultat valgaxiomet (normalt i form af Zorns lemma og udelukket midte) i sit bevis, og det er ækvivalent med det. Resultatet for separable Hilbert-rum har dog kun brug for afhængige valg og er derfor konstruktivt efter de fleste skolers standarder. Selv uden afhængigt valg kan eksplicitte ortornormale baser for bestemte L 2(X)L^2(X) ofte fremstilles ved hjælp af tilnærmelse af identitetsteknikkerne, ofte sammen med en Gram-Schmidt-proces.

I særdeleshed er alle uendelig-dimensionelle separable Hilbertrum abstrakt isomorfe til l 2(â)l^2(\mathbb{N}).

CauchyâSchwarz-ulighed

Swarz-ulighed (eller CauchyâÐÐÑнÑковвÑкийâSchwarz-ulighed, osv.) er meget praktisk:

Dette er i virkeligheden to sætninger (mindst): en abstrakt sætning om, at uligheden gælder i ethvert Hilbert-rum, og konkrete sætninger om, at den gælder, når det indre produkt og normen er defineret ved de formler, der er brugt i eksemplerne L 2(X)L^2(X) og l 2(S)l^2(S) ovenfor. De konkrete sætninger gælder selv for funktioner, der ikke hører til Hilbert-rummet, og beviser således, at det indre produkt konvergerer, når normerne konvergerer. (Et noget stærkere resultat er nødvendigt for at konkludere denne konvergens konstruktivt; det kan findes i Errett Bishop’s bog.)

• rigget Hilbert-rum

• Hilbert C-stjerne-modul, Hilbert bimodul

• Kähler vektorrum

Standard redegørelser for Hilbert rum i kvantemekanikken omfatter

• John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik.

  (tysk) Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Berlin, Tyskland: Springer Verlag, 1932.

• George Mackey, The Mathematical Foundations of Quamtum Mechanics A

  Lecture-note Volume, ser. Den matematiske fysiks monografiske serie. Princeton university, 1963

• E. PrugoveÄki, Kvantemekanik i Hilbert-rummet. Academic Press, 1971.