Operation af rationelle udtryk kan synes at være svært for nogle få elever, men reglerne for multiplikation af udtryk er de samme som for hele tal. I matematik defineres et rationelt tal som et tal, der er på formen p/q, hvor p og q er hele tal, og q ikke er lig med nul.

Eksempler på rationale tal er:

Et algebraisk udtryk er et matematisk udtryk, hvor variabler og konstanter kombineres ved hjælp af operationssymbolerne (+, -, × & ÷).

For eksempel er 10x + 63 og 5x – 3 eksempler på algebraiske udtryk. På samme måde er rationelle udtryk i formen p/q, og enten eller både p og q er algebraiske udtryk.

Eksempler på rationelle udtryk er bl.a: 3/ (x – 3), 2/ (x + 5), (4x – 1)/3, (x2 + 7x)/6, (2x + 5)/(x2 + 3x – 10), (x + 3)/(x + 6) osv.

Hvordan multiplicerer man rationelle udtryk?

I denne artikel skal vi lære at gange rationelle udtryk, men før det, skal vi huske os selv på, at to brøker ganges.

Multiplikation af to brøker indebærer, at man skal finde produktet af tælleren af den første og den anden brøk og produktet af nævneren. Med andre ord er multiplikation af to rationale tal lig med produktet af tælleren/produktet af deres nævner.

Alternativt kan man udføre multiplikation af rationale udtryk ved; først at faktorisere og ophæve tælleren og nævneren og derefter gange de resterende faktorer.

Nedenfor er de nødvendige trin til multiplikation af rationale udtryk:

• Faktoriser både nævner og tæller i hvert udtryk.
• Reducér kun udtrykkene til de lavest mulige termer, hvis faktorerne i tæller og nævner er fælles eller ens.
• Multiplicer de resterende udtryk sammen.

Eksempel 1

Multiplicer 3/5y * 4/3y

Løsning

Multiplicer tællerne og nævnerne hver for sig;

3/5y * 4/3y = (3 * 4)/ (5y * 3y)

= 12/15y 2

Reducer brøken ved at annullere den med 3;

12/15y 2 = 4/5y2

Eksempel 2

Multiplicer {(12x – 4x 2)/(x 2 + x -12)} * {(x 2 + 2x -8)/(x 3-4x)}

Løsning

Faktorér både tælleren og nævneren i hvert udtryk;

= {- 4x (x – 3)/(x-3) (x + 4)} * { {(x – 2) (x + 4)/x (x + 2) (x – 2)}

Reducer eller annullér udtrykkene og omskriv den resterende brøk;

= -4/ x + 2

Eksempel 3

Multiplicer (x 2 – 3x – 4/x 2 -x -2) * (x 2 – 4/ x2 + x – 20).

Løsning

Faktoriser tællere og nævner i alle udtrykkene;

= (x – 4) (x + 1)/ (x + 1) (x – 2) * (x + 2) (x – 2)/ (x – 4) (x + 5)

Udgå og skriv de resterende faktorer om;

= x + 2/ x + 5

Eksempel 4

Multiplikér

(9 – x 2/x 2/x 2 + 6x + 9) * (3x + 9/3x – 9)

Løsning

Faktoriser tællere og nævner og annullér fælles faktorer;

= – 1 (x + 3) (x – 3)/ (x + 3)2 * 3(x + 3)/3(x – 30

= -1

Eksempel 5

Simplificer: (x2+5x+4) * (x+5)/(x2-1)

Løsning

Ved faktorisering af tæller og nævner får vi;

=>(x+1) (x+4) (x+5)/(x+1) (x-1)

Ved annullering af de fælles termer får vi;

=>(x+4) (x+5)/x-1

Eksempel 6

Multiplikér ((x + 5)/(x – 4))) * (x / x + 1)

Løsning

= ((x + 5) * x) / ((x – 4) * (x + 1))

= (x2 + 5x) / (x2 – 4x + x – 4)

= (x2 + 5x) / (x2 – 3x- 4)

Når man ganger et helt tal med et algebraisk udtryk, ganger man ganske enkelt tallet med tælleren i udtrykket.

Dette er muligt, fordi, ethvert helt tal altid har en nævner på 1. Og derfor ændrer multiplikationsreglerne mellem et udtryk og et helt tal sig ikke.

Tænk på eksempel 7 nedenfor:

Eksempel 7

Multiplikér ((x + 5) / (x2 – 4)) * x

Løsning

= ((x + 5) / (x2 – 4)) * x / 1

= (x + 5) * x / (x2 – 4) × 1

= (x2 + 5x) / (x2 – 4)

Øvelsesspørgsmål

Simplificer følgende rationale udtryk:

Svarene